奥数 巧用公倍数（讲义）-2023-2024学年五年级下册数学人教版

巧用公倍数 知识导航 几个数共有的倍数叫做这几个数的公倍数。几个数公倍数的个 数是无限的，没有最大的公倍数。其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。自然数a,b的最小公倍数可以记作【 a,b】当（a,b）=1时，【a,b】=a .两个数的最大公因数和最小公倍数的关系：最大公因数×最小公倍数=两个数的乘积。 【精典例题1】 例1：一排电线杆，原来每相邻两根之间的距离是30米，现在改为45米。如果起点的一根电线杆不动，至少再隔多远又有一根电线杆不需要移动？ 思路导航：不需要移动的那一根电线杆距第一根电线杆的距离肯定是30的倍数，同时也是45的倍数，因为题中的问题是“至少再隔多远又有一根电线杆不需要移动”，那么不需要移动的那一根电线杆距第一根电线杆的电线杆的距离应是30和45的最小公倍数。 30和45的最小公倍数是5 所以，如果起点的一根电线杆不动，至少再隔90米又有一根电线杆不需要移动。 答：至少再隔90米又有一根电线杆不需要移动。 小试身手 1、马路的一边栽了一行小树，原来每相邻两棵树之间的距离是2米，如果要将每相邻两棵树之间的距离改为3米，除第一棵不需要移动外，至少再隔多远又有一棵小树不需要移动？ 2、一行小树苗，共100棵。原来每相邻两棵小树苗之间相隔2米，现要改为每隔5米栽一棵，如果两端不算，中间还有多少棵小树苗不需要移动？ 3、一行小树苗，从第一棵到最后一棵的距离是100米。原来每相邻两棵小树苗之间距离是2米，如果要改为每隔5米栽一棵，两端不算，中间还有多少棵小树苗不必移动？ 【精典例题2】 例2：人民公园是1路和3路汽车的起点站。1路汽车每3分钟发车一次，3路汽车每5分钟发车一次。这两路汽车同时发车后，至少再过多少分钟又同时发车？ 思路导航：因为1路汽车每3分钟发车一次，3路汽车梅分钟发车一次，所以这两路汽车同时发车后，再同时发车，所经过的时间要既是3的倍数，又是5的倍数，即3和5的最小公倍数。 3和5的最小公倍数是3 答：这两路车同时发车后，至少再过15分钟又同时发车。 小试身手 1、 某县城只有两路公共汽车，1路车每3分钟发一辆，2路车每隔8分钟发一辆，这两路汽车同时发车后，至少再经过多少分钟又同时发车？ 2、 某县城又三路公共汽车，1路车每3分钟发一辆，2路车每5分钟发一辆，3路车每7分钟 发一辆。这三路车同时发车后，至少再经过多少分钟又同时发车？ 3、甲、乙、丙三个好朋友，甲每3天到图书馆去一次，乙每4天到图书馆去一次，丙每5天到图书馆去一次。上次他们是星期二在图书馆相遇的，那么相遇后第几天他们再次在图书馆相遇？相遇时是星期几？ 【精典例题3】 例3：一包糖果，无论平均分给8个人，还是平均分给10个人，都能正好分完。这包糖果至少有多少块？如果把“正好分完’改为 “都剩3块”，这包糖果至少有多少块？ 思路导航：一包糖果，无论平均分给8个人，还是10个人，都正好分完。说明这包糖果块数既是8的倍数，又是10的倍数，因此求出8和10的最小公倍数。 8和10的最小公倍数是2 因此，这包糖果最少有40块。 如果把“正好分完’改为 “都剩3块”，说明这包糖果的块数比8和10的最小公倍数多3，而8和10的最小公倍数是40，因此这包糖果就有40+3=43（块） 答：这包糖果至少有40块。如果把“正好分完’改为 “都剩3块”，这包糖果至少有43块。 小试身手 1、 学校在一个山坡上植树，如果每行数12棵小树苗，植了若干行后还剩下8棵；如果每行植8棵小树苗，植了若干行后还剩下4棵，这棵小树苗最少有多少棵？ 2、 一包饼干，如果平均分给6个人，剩下5块，如果平均分给8个人，剩下7块。这包饼干最少有多少块？ 3、 老师要将一个班的学生分成几个学习小组，如果每组8名同学，还剩下7名同学，如果每组6名同学，还剩下5名同学。这个班可能有多少名同学？ 【精典例题4】 例4：五年级同学参加植树活动，人数在30-50人之间。如果分成3人一组，4人一组，6人一组或8人一组，都恰好分完。五年级参加植树活动的学生有多少人？ 思路导航：将全班人数分成3人一组、4人一组、6人一组货8人一组都恰好分完，说明全班人数是3的倍数、4的倍数、6的倍数和8的倍数，也就是3、4、6、8的公倍数。 3、4、6、8的最小公倍数是2 3、4、6、8的最小公倍数是24，五年级的人数在30-50人之间，所以五年级参加植树活动的学生有48人。 答：五年级参加植树活动的学生有48人。 小试身手 1、有一袋水果糖，3块3块地数，最后剩下2块，4块4块地数最后剩下3块，5块5块地数，最后还剩下4块。这袋水果糖的块数在120-200块之间，这袋水果糖有多少块？ 2、有一批小树苗，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵，这批树苗在150-200