比例的意义和性质（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

比例的意义和性质 【知识综述】 表示两个比相等的式子叫作比例。判断两个比能不能组成比例,要看它们的比值是不是相等。 组成比的四个数,叫作比例的项。两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。例如: 在比例中,两个外项的积等于两个内项的积,这叫作比例的基本性质。 例如：=120 120×4=80x6 在制地图或其他的平面图时,需需要把实际距离按一定的比例缩小或扩大后,再画在图纸上。这个“一定的比例”就是比例尺，它表示图上距离和相对应的实际距高的比。 图上距离和实际距离的比,叫作比例尺。 图上距离:实际距离=比例尺 或=比例尺 知道了一幅图的比例尺,就可以根据图上距高求出实际距离,或是根据实际距离求出图上距离。 【典型例题1】 在比例尺是1：2500000的地图上,量得两个城市之间的距离是8厘米。如果画在比例尺是1：8000000的地图上,图上距离是多少厘米？ 思路点拨1：这是一个分两步解答的比例尺应用题,已知比例尺是1：2500000的地图上,两城市之间的距高是8厘米,可以运用关系式“图上距离比例尺=实际距离”求出两个城市之间的实际距离。要把这个实际距离画在比例尺是1：8000000的地图上,又可运用关系式“实际距离×比例尺=图上距离”求出图上距离。 两个城市之间的距离是多少? 8=8×2500000=20000000(厘米) 在比例尺是1：8000000的地图上,图上距离是多少? 20000000×=2.5(厘米) 思路点拨2：因为实际距离一定,所以我们以实际距离相等来列方程解答。 解:设如果画在比例尺是地图上,图上距离是x厘米 x=8 x=8× x=2.5 答:如果画在比例尺是的地图上,图上距离是2.5厘米。 小试身手 1.在比例尺是1:5000000的地图上,量得甲、乙两城相距3厘米,如果画在比例尺是1:3000000的地图上,图上距离是多少厘米？ 2.在比例尺是1:3000000的地图上,量得A,B两地的距离是40厘米。甲,乙两辆汽车同时从A,B两地相对开出,经过12小时相遇,已知甲汽车每小时行48千米,乙汽车每小时行多少千米? 3.在一比例尺为8:1的精密零件图上,量得零件的长是5厘米。这个零件实际有多长? 【典型例题2】 铺一间教室的地,用边长4分米的方砖,需要300块;如果改用边长5分米的方砖,可以少用多少块砖? 思路点拨：每块方砖的面积方砖的块数=教室的面积(一定),所以每块方砖的面积和方砖的块数成反比例。设用边长5分米的方砖铺地,可以少用x块砖,则需要用(300-x)块,列方程如下： (55)(300-x)=(4×4)×300 解得:x=108 答:可以少用108块砖。 小试身手 1.一问教室的地,用边长4分米的方時,需要200块；如果改用边长5分米的方砖,需要用多少块砖? 2.丽丽家的客厅用边长5分米的地砖铺，需要买180块; 如果改用边长6分米的地砖铺,可以少买多少块砖? 3.公园里的一条路打算用砖铺,如果用边长5分米的方砖铺地，需要400块;如果改用长4分米、宽2分米的地砖铺地，要多用多少块砖？ 【典型例题3】 A,B两个平行四边形如下图那样重叠在一起,重叠部分的面积是A的1/4,是B的1/6。已知A的面积是12平方厘米,求B的面积是多少平方厘米。 思路点拨1：用比例知识解答。 1=4(A的面积包含4个重叠部分的面积) 1=6(B的面积包含6个重叠部分的面积) 4:6=2:3,A和B的面积比是2:3。 解:设B的面积是x平方厘米。 12:x=2:3 解得:x=18 思路点拨2：用份数法解答。 因为A和B的面积比为2:3,由比的意义可知,A的面积是2份,B的面积是3份。所以B的面积就是:12÷2×3=18(平方厘米)。 思路点拨3：用方程解。 依题意,重叠部分的面积是A的1/4,是B的1/6,也就是A面积的1/4等于B面积的1/6. 解:设B的面积是x平方厘米 x=12× 解得:x=18 思路点拨4：用分数知识解。把重叠部分的面积看作单位“1”,根据分数乘、除法的意义,可直接列式解答： 12 答：B的面积是18平方厘米。 小试身手 1.A,B两个圆重叠着放在一起,重叠部分是A圆面积的1/5,是B圆面积1/7。如果A圆面积是35平方厘米,那么B圆的面积是多少平方厘米? 2.学校有数学和科技两个兴趣小组,数学小组的人数占两个小组总人数的3/5,科技小组的人数占两个小组总人数的4/7,两个小组都参加的有12人。参加数学和科技小组的各有多少人? 3.甲汽车从A地到B地,乙汽车从B地到A地.行了若干小时后,甲汽车行了全程的7/12，乙汽车行了全程的5/8,丙辆汽车共同行过的路程是15千米。乙汽车比甲汽车多行多少千米? 【典型例题4】 师徒两人加工一批零件,由师傅单独需15小时,徒弟每小时能加