第十讲：空间几何中几种角（四大题型）-2023-2024学年高一数学下学期同步提升讲义（人教A版2019必修第二册）

第十讲：立体几何中各种角 知识点填空 1.直线与直线垂直 （1）异面直线所成角：如图，已知两条异面直线，经过空间任一点分别作直线，，我们把直线 叫做异面直线与所成的角（或夹角）. （2）异面直线垂直的定义：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线 . 直线与直线垂直，记作 . 异面直线所成角的范围是 ；空间两条直线所成角的范围是 . 2.直线与平面所成角 平面的一条斜线和它在平面上的 所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角. 直线与平面所成角的范围是 . 3.二面角 从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角. 以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的 ，二面角的大小可以用它的平面角度量. 二面角的范围是 . 4.点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的 ，垂线段的长度叫做这个点到该平面的 . 题型目录 题型一：异面直线所成的角 题型二：直线与平面所成的角 题型三：二面角 题型四：点到面的距离 题型一：异面直线所成的角 【典例例题】 例1.已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱的长为2，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.在三棱锥A-BCD中，E、F分别是AB，CD的中点，若，，AD与BC所成的角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 2.如图，在正三棱台中，若，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型二：直线与平面所成的角 【典例例题】 例1.如图，在四棱锥中，底面是以2为边长的菱形，且，，为的中点.    (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【变式训练】 1.如图在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，设分别为的中点．    (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 2.如图所示，在直三棱柱中，，，，为棱的中点，为棱上靠近的三等分点，为线段上的动点.    (1)求证：平面； (2)若四面体的体积为，求的正弦值. 题型三：二面角 【典例例题】 例1.如图，已知平面与底面所成角为，且． (1)求证：平面； (2)求二面角的大小． 【变式训练】 1.如图，是矩形所在平面外一点，且平面．已知． (1)求二面角的大小； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 2.如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点E满足，现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示. (1)在棱上是否存在点F，使直线平面，若存在，求出，若不存在，请说明理由； (2)求二面角的平面角的正切值. 3.如图，在三棱锥中，平面平面，，， E、F分别为棱、的中点． (1)求证：直线平面； (2)若直线与平面所成的角为，直线与平面所成角为，求二面角的大小． 题型四：点到面的距离 【典例例题】 例1.如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，四边形为矩形，平面平面，为线段的中点，且.      (1)求证：平面； (2)若，，直线与平面所成的角为，求点E到平面的距离. 【变式训练】 1.如图，在四棱锥中，平面，，，，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 2.在三棱锥中，为的中点. (1)证明：⊥平面. (2)若，平面平面，求点到平面的距离. 3.如图，在三棱锥中，平面，，，，为线段的中点，是线段上一点，且，平面过点，，且平面平面. (1)求平面被三棱锥截得的截面面积； (2)求点到平面的距离. 1.如图，直三棱柱中，是等边三角形，点分别是线段的中点，直线与平面交于点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2.（多选）如图所示，在四边形中，，，.将四边形沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列结论不正确的是（　　） A． B． C．与平面所成的角为 D．四面体的体积为 3.如图，空间四边形的所有棱长为1，D、E分别是棱的中点，则与所成角为 4.三棱锥中，平面ABC，，，，，则二面角的大小为 . 5.如图所示，在三棱锥中，．    (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 6.如图1，在矩形ABCD中，，．将△BCD沿BD翻折至，且，如图2．    (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面ABD夹角的余弦值． 7.在如图所示的圆锥中，是顶点，是底面的圆心，、是圆周上两点，且，． (1)若圆锥侧面积为，求圆锥的体积； (2)设圆锥的高为2，是线段上一点