随机变量及其数字特征讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第七讲:随机变量分布列及其数字特征 知识点梳理 1.求离散型随机变量的分布列的步骤 (1)找:找出随机变量X的所有可能的取值() (2)求:借助概率的有关知识求出随机变量X取每一个值的概率() 注意应用计数原理、古典概型等知识 (3)列:列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的两条性质. 注意:写出分布列时要注意将化为最简分式形式,但是在利用检验分布列是否正确时可利用化简前的分式结果. 2.离散型随机变量的分布列的性质 ①, ② 3.两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验,用表示“成功”,表示“失败”,定义 如果,则,那么的分布列如下所示: 0 1 4.离散型随机变量的均值的概念 为随机变量的均值(mean)或数学期望 注意:若离散型随机变量X的均值为E(X),Y=aX+b,其中a,b为常数,则Y也是一个离散型随机变量,且. 5.离散型随机变量的方差的概念 为随机变量的方差,有时也记为. 称为随机变量的标准差. 题型一:求离散型随机变量的分布列 题型二:随机变量分布列的性质 题型三:随机变量的期望 题型四:随机变量的方差 题型一:求离散型随机变量的分布列 【典例例题】 例1.甲､乙两所学校之间进行排球比赛,采用五局三胜制(先赢3局的学校获胜,比赛结束),约定比赛规则如下:先进行男生排球比赛,共比赛两局,后进行女生排球比赛.按照以往比赛经验,在男生排球此赛中,每局甲校获胜的概率为,乙校获胜的概率为,在女生排球比赛中,每局甲校获胜的概率为,乙校获胜的概率为.每局比赛结果相互独立. (1)求甲校以3:1获胜的概率; (2)记比赛结束时女生比赛的局数为,求的概率分布. 【变式训练】 1.某校为缓解学生压力,举办了一场趣味运动会,其中有一个项目为篮球定点投篮,比赛分为初赛和复赛.初赛规则为:每人最多投3次,每次投篮的结果相互独立.在处每投进一球得3分,在处每投进一球得2分,否则得0分.将学生得分逐次累加并用表示,如果的值不低于3分就判定为通过初赛,立即停止投篮,否则应继续投篮,直到投完三次为止.现甲先在处投一球,以后都在处投,已知甲同学在处投篮的命中率为,在处投篮的命中率为,求他初赛结束后所得总分的分布列. 2.2024年5月12日,2024北京冬奥会和冬残奥会吉祥物冰墩墩、雪容融亮相上海展览中心.为了庆祝吉祥物在上海的亮相,某商场举办了一场赢取吉祥物挂件的“双人对战”游戏,游戏规则如下:参与对战的双方每次从装有3个白球和2个黑球(这5个球的大小、质量均相同,仅颜色不同)的盒子中轮流不放回地摸出1球,摸到最后1个黑球或能判断出哪一方获得最后1个黑球时游戏结束,得到最后1个黑球的一方获胜.设游戏结束时对战双方摸球的总次数为X. (1)求随机变量X的概率分布; (2)求先摸球的一方获胜的概率,并判断这场游戏是否公平. 3.第33届夏季奥林匹克运动会即将于2024年在巴黎举办,其中游泳比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段,只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛.已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和,乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和,丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和,其中. (1)甲、乙、丙三人中,哪个人进入决赛的可能性更大? (2)如果甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为,求p的值; (3)在(2)的条件下,设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为,求的分布列. 题型二:随机变量分布列的性质 【典例例题】 例1.设随机变量的分布列为. (1)求常数的值; (2)求; (3)求. 【变式训练】 1.若随机变量的分布列如下表: 则( ) A. B. C. D. 2.设随机变量的分布列为,则( ) A. B. C. D. 题型三:两点分布 【典例例题】 例1.在一次购物抽奖活动中,假设10张奖券中有一等奖奖券1张,可获价值50元的奖品,有二等奖奖券3张,每张可获价值10元的奖品,其余6张没有奖品.顾客甲从10张奖券中任意抽取1张,求中奖次数X的分布列. 【变式训练】 1.下列选项中的随机变量不服从两点分布的是( ) A.抛掷一枚骰子,所得点数 B.某射击手射击一次,击中目标的次数 C.从装有除颜色外其余均相同的5个红球,3个白球的袋中任取1个球,设 D.某医生做一次手术,手术成功的次数 2.设随机变量X服从两点分布,若,则 . 题型四:随机变量的期望 【典例例题】 例1.已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 且,若,则等于( ) A. B. C. D. 例2.2023年12月11日至12日中央经济工作会议在北京举行,会议再次强调要提振新能源汽车消费.发展新能源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测,检测合格后方可销售,其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试,