8.3.1多面体的表面积与体积课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 第八章立体几何初步 在本节中我们会涉及到常用平面多边形面积，你能熟练地计算它们的面积吗? 矩形 正方形 三角形 ┐ ┐ ┐ 平行四边形 正六边形 引 入 用纸量的大小跟围成几何体各个面的面积密切相关． 为此，我们引入几何体表面积相关概念． 在生产生活中，会遇到包装盒用纸量的计算问题. 1. 多面体的表面积 新知探究 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和． 　棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和， 也就是展开图的面积． 棱柱 棱柱 展开图 侧面积等于侧面各个平行四边形的面积和. 表面积等于底面积与侧面积的和. 空间问题 平面问题 也就是说求多面体的表面积关键在于知道展开图是怎么样的！ 棱台 棱柱 棱锥 S棱柱表=S棱柱侧+2S底 S棱锥表=S棱锥侧+S底 S棱台表=S棱台侧+S上底+S下底 任务一：多面体的表面积 正方体，六个面都是全等的正方形 表面积 特别多面体的表面积 长方体 长方体的长宽高分别是a,b,c 表面积2ab+2ac+2bc 任务一：多面体的表面积 正四面体，四个面都是全等的正三角形 例1 已知一个正四棱锥P-ABCD的侧棱长为5，底面的边长为6，求它的表面积． E =4 = ==84 现有一个底面是菱形的直四棱柱(侧棱与底面垂直)，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积． 解：如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点 为O，对角线A1C＝15，B1D＝9， ∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56. ∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB2＝ (AC)2＋ (BD)2＝ (a2＋b2)＝ (200＋56)＝64， ∴AB＝8.∴该直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160. 练习 1. 如图，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高1.6 m，底面外接圆的半径是0.46 m，则制造这个滚筒需要________m2铁板．(精确到0.1 m2) 练习 2. 5.6 练习 3.1. 正六棱台的上下底面边长分别是2cm和6cm,侧棱长是5cm,求它的表面积. 解：如图示，AB=6cm，A′B′=2cm，AA′=5cm. 因此，正六棱台的表面积为 A D B C F E A' D' B' C' F' E' . 练习 4.(2020·全国卷Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 (　　) C 还记得以前学过的特殊棱柱——正方体、长方体的体积公式吗？ Ｖ正方体＝a3（a是正方体的棱长） Ｖ长方体＝abc（a，b，c分别是长方体的长、宽、高） 2. 多面体的体积 取一摞书放在桌面上，并改变它们的位置，观察改变前后的体积是否发生变化？ 如果把第一本书看作棱柱的底面积，书本的个数看作棱柱的高，那么 棱柱的体积 一般地，如果棱柱的底面面积为S，高为h，那么这个棱柱的体积 说明： (1)棱柱的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离. (2)对直棱柱而言，由于侧棱垂直于底面，因此直棱柱的侧棱长即为直棱柱的高.     如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积与棱锥的体积有什么关系呢？ 【结论】棱锥的体积等于同底等高的棱柱体积的。 一般地，如果棱锥的底面积是S，高是h，那么该棱锥的体积: 棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离. 如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍. 即: 棱锥的体积 棱台的体积又如何计算呢？ 棱台的体积 棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？你用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？ 几何体 直 观 图 体 积 棱柱 棱台 棱锥 上底面扩大到与下底面全等 上底面缩小为一个点 S′=S S′=0 如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥， 两部分的高都是0.5cm，公共面ABCD是边长为1cm的正方形，那么这个 漏斗的容积是多少立方米（精准到0.01m3）？ 解：由题意知 所以这个漏斗的容积 例2 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截 去八个一样的四面体得到的. 如果被截正方体的棱长是50cm， 那么石凳