专题6.2 直角三角---十字架模型-2024年中考数学二轮复习必会几何模型剖析（全国通用）

专题六 直角三角形模型 人教版中考第二轮总复习---几何模型 §6.2 “十字架”模型 考点4-1 模型分析 正方形中的十字架结构 【引例】在正方形ABCD中,BN⊥AM,则常见的结论有哪些? A M N D C B P 【结论】△ADM≌△BAN,AM=BN. “垂等图” 【例1】在正方形ABCD中,E、F、G、H分别为AB、CD、BC、AD边上的点, ⑴若EF⊥GH,证明：EF=GH； ⑵若EF=GH,证明：EF⊥GH. 以上结论，称之为“垂等图”！ 以上方法：改斜归正,横平竖直. 过点H作HN⊥BC,过点F作FM⊥AB. 【结论】△HNG≌△FME,GH=EF. A F H D C B P G E M N 考点4-1 典例精讲 正方形中的十字架结构 1.如图,将边长为4的正方形纸片ABCD折叠,使得点A落在CD的中点E处,折痕为FG,点F在AD边,求折痕FG的长. A B´ E F C D B G 【解析】连接AE,由轴对称的性质可知,AE⊥FG (FG垂直平分AE),这样就可以直接用上面的结论. 所以由垂直得到相等,所以FG=AE 考点4-1 针对训练 正方形中的十字架结构 考点4-2 模型分析 矩形中的十字架结构 【思考】既然正方形内可出现垂直,那么矩形内出现垂直会有什么结论呢? 【引例】如图1,在矩形ABCD中,AB=m,AD=n,在AD上有一点E,若CE⊥BD,则CE和BD之间有什么数量关系?证明请. B E C D A 图1 CE BD = CD BC = m n 【例2-1】如图2,一般情况,在矩形ABCD中,E、F、G、H分别为AD、BC、AB、CD边上的点,当EF⊥GH时,证明：⑴△FME∽GNH；⑵EF:GH=AB:BC N M B H E C D A F E 图2 考点4-2 典例精讲 矩形中的十字架结构 【例2-2】如图,已知直线y=-x+2与x轴,y轴分别交于B,A两点,将△AOB沿着AB翻折,使点O落在点D上,当反比例函数经过点D时,求k的值. F G E 【解析】求出点D的坐标就好啦！这个题学生不会做,主要是图不完整,太空啦！所以把它围成一个矩形就好啦！(如图)发现连接OD后,有OD⊥AB(发现没有,矩形内部垂直模型出来了！) ∴ED:AO=OE:OB=OD易求A(0,2),B(4,0) ∴AB=2√5,OD=20G, 考点4-2 典例精讲 矩形中的十字架结构 y x O D A B 在△ABO中,利用面积法可快速求出: OG= 4 5 5 ∴OD= 8 5 5 ∴ ED 2 = OE 2 8 5 5 = 2 5 = 4 5 ∴ED= 8 5 ,OE= 16 5 ∴D( , ) 8 5 16 5 ∴k= 8 5 × 16 5 = 128 25 1.如图把边长为AB=6,BC=8的矩形ABCD对折,使点B和D重合,求折痕MN的长. A M C D B N 考点4-2 针对训练 矩形中的十字架结构 MN= 15 2 2.在Rt△ACB中,AC=4,BC=3,点D为AC上一点,连接BD,E为AB上一点,CE⊥BD，当AD=CD时,求AE的长. 我们知道直角三角形是可以看成是连接矩形对角线后分成的图形.所以矩形的结论可沿用至直角三角形内—— 【解析】如图,补成矩形ACBH,延长CE交AH于点G. ∴△BCD∽△CAG. ∴CD:AG=CB:AC=AB:CG ∴2:AG=3:4=5:CG, ∴AG=8/3,CG=20/3. 如图,再用一次X型相似即可. 设CE=x,EG=20/3-x ∴AG:BC=EG:CE, H G A D E B C F 考点4-2 针对训练 矩形中的十字架结构 20 3 = x 即： 3 8 3 -x 解得: x= 60 17 3.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90º,BA=BC,点D为BC边上的中点,BE⊥AD于点E,延长BE交AC于点F,则AF：FC的值为___________. 推广：此题变式：BD：DC=2：3，则：AF：FC=( ) 【分析】八字相似得：AF:FC=AB:CG 由全等得：CG=BD A B E D C F G ∴AF:FC=AB:BD=2 考点4-2 针对训练 矩形中的十字架结构 4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90º,AC=BC,点D为BC的中点,CE⊥AD于点E,其延长线交AB于点F,连接DF.求证：∠ADC=∠BDF. A D F B C E ∴∠1=∠2. 证明：如图,过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G. ∵∠ACB=90º， ∴∠2+∠ACF=90º. ∵CE⊥AD， ∴∠AEC=90º ∴∠1+∠ACF=180º-∠AEC=90º. G 1 2 ∵AC=CB,∠ACD=∠CBG=90º ∴CD=BD.