专题6.1 直角三角---直角三角形的应用模型-2024年中考数学二轮复习必会几何模型剖析（全国通用）

专题六 直角三角形模型 人教版中考第二轮总复习---几何模型 §6.1 常见的直角三角形模型 考点归纳 知识梳理 解直角三角形的实际应用模型 解直角三角形是中考的重要内容之一,直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础.将实际问题转化为数学问题是关键,通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题,在解直角三角形时要注意三角函数的选取,避免计算复杂.在解题中,若求解的边,角不在直角三角形中,应先添加辅助线,构造直角三角形.为了提高解题能力,快速提分本专题把常用的模型及演变题型总结如下: 若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边CD是解题的关键． 考点3-1 理论依据 “背靠背式”双直角三角形 【等量关系】CD为公共边,AD+BD=AB A C D B 模型演变 A 图1 B D C E A F D E C B 图2 【等量关系】 如图2,CD=EF,CE=DF,AD+CE+BF=AB. 如图1,CE=DA,CD=EA,CE+BD=AB； 【例1】如图,一艘轮船位于灯塔P的北偏东60º方向且与灯塔P的距离为80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45º方向上的B处,求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离(结果保留根号). 考点3-1 典例精讲 “背靠背式”双直角三角形 解：作PC⊥AB于C点. ∴∠APC=30º,∠BPC=45º,AP=80(海里). 在Rt△APC中,cos∠APC= PC PA ∴PC=PA•cos∠APC= 40 3(海里) 在Rt△PCB中,cos∠BPC= PC PB 答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是40 6海里. ∴PB= = =40 6(海里). PC cos∠BPC 40 3 cos45º P 60º C B A 45º 北 考点3-1 针对训练 “背靠背式”双直角三角形 1.为加快城乡对接,对A,B两地间的公路进行改建.如图A,B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶,开通隧道后,可沿直线AB行驶.已知BC=80km,∠A=45º,∠B=30º.开通隧道后,汽车从A地到B地大约可以少走多少千米?(结果精确到0.1km,参考数据：≈1.41,≈1.732) A C B D 答：开通隧道后,汽车从A地到B地大约可以少走27.2千米. 解：如图,过点C作CD⊥AB于点D. 在Rt△BCD中. ∵BC=80,∠B=30º. ∴DC=BC·sin30º=40,BD=BC·cos30º=40 3 在Rt△ACD中. ∵∠A=45º. ∴AD=CD=40,AC=40 2 ∴AC+BC=40 2+80≈40×1.41+80=136.4 ∴AB=AD+BD=40+40 3≈40+40×1.73=109.2 ∴AC+BC-AB=136.4-109.2=27.2 考点3-2 理论依据 “叠合式”双直角三角形 若三角形中有已知角,通过在三角形外作高BC,构造有公共直角的两个三角形求解,其中公共边BC是解题的关键. 【等量关系】 如图1,AD+DC=AC； 如图2,DC-BC=DB. A B D C 图1 图2 A D B C 模型演变1 如图4,AF=CE,AC=FE,BC+AF=BE. 【等量关系】 如图3,DF=EC,DE=FC,BF+DE=BC,AE+DF=AC； A E F C B D 图3 A F 图4 D B C E 考点3-2 理论依据 “叠合式”双直角三角形 模型演变3 如图9,BC=FG,BF=CG, EF+BC=EG,BD+DF=BF,AC+BD+DF=AG. 【等量关系】 如图8,BC=FG,BF=CG, AC+BF=AG,EF+BC=EG； A 图8 B C F G E C A B D F G E 图9 模型演变2 【等量关系】 如图5,BE+EC=BC； 如图6,EC-BC=BE； 如图7,AC=FG,AF=CG,AD+DC=FG,BC+AF=BG. A E D C B 图5 C D A E B 图6 F 图7 D A B C G 【例1-1】如图,某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度.已知在离地面1500m,高度C处的飞机,测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60º和45º,求隧道AB的长. 考点3-2 典例精讲 “叠合式”双直角三角形 解：由题意得∠ACO=30º,∠CBO=45º, 在Rt△COA中, 在Rt△COB中,OB=OC=1500m， A D C B O ∵tan30º= OA OC ∴OA=CO×tan30º=1500× =500 m， 3 3 3 ∴AB=(1500-500 )m 3 答：隧