专题5.4 相似---K字形及其变形-2024年中考数学二轮复习必会几何模型剖析（全国通用）

专题五 与相似有关的模型 人教版中考第二轮总复习---几何模型 §5.4 “K字形”及其变形 考点归纳 模型分析 相似的基本模型 相似三角形是几何中重要的证明模型之一,是全等三角形的推广,分析图形间的关系离不开数量的计算.相似和勾股是产生等式的主要依据(其他依据还有面积法,三角函数等),因此要掌握相似三角形的基本图形,体会其各种 演变和联系.现将基本模型总结如下： 模型一 A字形； 模型二 X(8)字形； 模型三 K字形(一线三等角)。 对于“A字形”及“ X字形”(或作平行线或其他辅助线去构造“AX字形”)问题，一般利用平行线分线段成比例定理或相似三角形的判定、性质去进行比例变形、等量代换，寻找中间比，从而将问题解决. 考点3-1 典例精讲 K字形(一线三等角) 【例1】如图,△ACB为等腰直角三角形,点O是斜边AB的中点,∠EOF=45º. ⑴求证：△AOE∽△BFO；⑵若AB=4,求AE·BF的值. A C B O F E 3 2 1 ⑴证明：∵△ACB为等腰直角三角形 ∴△AOE∽△BFO. ∴∠A=∠B=45º,∠3＋∠2=135º. ∵∠EOF=45º. ∴∠1＋∠2=135º. ∴∠3=∠1. ⑵解：∵△AOE∽△BFO. ∴AE•BF=4 ∴AE:BO=AO:BF. ∴AE•BF=AO•BO. ∵AO=BO=2. ∴△ABP∽△PCD. 【变式】如图,在△ABC中,AB=AC,点D、P分别在边AC、BC上,且∠APD=∠B. 求证：AC·CD=CP·BP. 证明：∵AB=AC, ∴∠B=∠C. ∵∠APD=∠B, ∴∠APD=∠C. ∵∠APC=∠B+∠BAP,∠APC=∠APD+∠CPD. ∴∠B+∠BAP=∠APD+∠CPD. ∴∠BAP=∠CPD. ∴ = BP CD BA CP ∵AB=AC. ∴AC·CD=CP·BP. C A D B P 考点3-1 变式训练 K字形(一线三等角) 考点3-1 知识归纳 K字型模型分析 K字型(一线三等角)模型分析 类别 正K型(一线三等角) 正K型变形 斜K型 图形 条件 结论 ∠B=∠1=∠D △ABC∽△CDE A E F C B D 1 A(F) E C B D 1 A E C B D 1 F B C D E A 1 ∠B=∠1=∠C △FBD∽△DCE B D E C A 1 2 ∠1=∠2=∠ACE △ABC∽△CDE 【例2】如图,在正方形ABCD中,E是边AB上的一动点(不与点A、B重合),连接DE,点A关于直线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H,连接BH. (1)求证：GF=GC；(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明. D H B E C A F G 解：(1)连接DF, Q ∴△DEH是等腰直角三角形. 过点H作HQ⊥AB交AB延长线于点Q. (2)BH= AE. 2 易证∠EDG= ∠ADC=45º. 1 2 易证△DAE≌△EQH. ∴AE=QH,DA=EQ. ∵AB=DA=EQ. ∴AE=BQ. ∴BQ=HQ. ∴△BQH是等腰直角三角形. ∴BH= HQ= AE. 2 2 易证△DGF≌△DGC, 易证△DAE≌△DFE, ∴GF=GC. 考点3-2 典例精讲 K字形(一线三直角) Q 【变形一】由(1),(3)→(2)如图,E是正方形ABCD的边AB上一点,∠CBH=45º,过点E作EH⊥DE交BH于点H,求证：∠EDH=45º. (1)∠DEH=90º；(2)∠EDH=45º；(3)∠CBH=45º. D H B E C A G 【分析】可以采用构造三垂直思路,但是对于△DAE和△EQH,并没有已知的相等线段,此路不通. 不同的条件下方法可能会不同,利用好题目的已知条件,比如此处∠CBH=45º如何运用? 证明：在AD边上取点F使得AF=AE,连接EF. ∴∠DFE=135º=∠EBH,易证∠FDE=∠BEH,DF=EB, ∴△DFE≌△EBH, ∴DE=DH. ∴△DEH是等腰直角三角形, ∴∠DEH=45º. 考点3-2 变式训练 K字形(一线三直角) (1)∠DEH=90º；(2)∠EDH=45º；(3)∠CBH=45º. 【变形二】由(2),(3)→(1)如图,E是正方形ABCD的边AB上一点, ∠EDH=∠CBH=45º,求证：DE⊥EH. ∴∠DEH=∠DBH=90º. D H B E C A G O 证明：∵∠EDH=45º,∠EBH=90º+45º=135º. ∴∠EDH+∠EBH=180º. ∴B、E、D、H四点共圆,连接BD. ∴