专题5.3 相似---X字形及其变形-2024年中考数学二轮复习必会几何模型剖析（全国通用）

专题五 与相似有关的模型 人教版中考第二轮总复习---几何模型 §5.3 “X(8)字形”及其变形 考点归纳 模型分析 相似的基本模型 相似三角形是几何中重要的证明模型之一,是全等三角形的推广,分析图形间的关系离不开数量的计算.相似和勾股是产生等式的主要依据(其他依据还有面积法,三角函数等),因此要掌握相似三角形的基本图形,体会其各种 演变和联系.现将基本模型总结如下： 模型一 A字形； 模型二 X(8)字形； 模型三 K字形。 对于“A字形”及“ X字形”(或作平行线或其他辅助线去构造“AX字形”)问题，一般利用平行线分线段成比例定理或相似三角形的判定、性质去进行比例变形、等量代换，寻找中间比，从而将问题解决. 【例1】如图,已知E是□ABCD中AD边上一点,且AE:DE=3:2,CE交BD于点F,BF=15cm,求DF的长. 解：∵四边形ABCD是平行四边形. ∴DF=6 cm ∴BC∥AD,BC=AD ∴△EDF∽△CBF ∴DF:BF=DE:BC ∴AE:DE=3:2 ∴DE:AD=2:5 ∵BF=15 考点5-1 典例精讲 “X字形”相似 ∴DE:BC=2:5 A E D C B F 【例2】如图,已知在△ABC中,BE平分∠ABC交AC于点E,点D在BE的延长线上,且BA·BC=BD·BE. (1)求证：△ABD∽△EBC. (2)求证：AD2=BD·DE 考点5-2 典例精讲 斜“X字形”相似 A E C D B 即：AD2＝BD·DE. 证明：(1)∵BE平分∠ABC， ∴∠ABD=∠EBC. ∵BA·BC=BD·BE， ∴AB:BE=BD:BC. ∴△ABD∽△EBC. (2)∵△ABD∽△EBC， ∴∠BAD＝∠BEC. ∵∠EAD＝∠BEC， ∴∠BAD＝∠AED ∵∠ADE＝∠ADB， ∴△AED∽△BAD. ∴AD:BD=DE:AD 【例3】如图,AD与BC相交于点O,EF过点O,交AB于点E,交CD于点F,BO=1,CO=3,AO=1.5,DO=4.5. (1)求证：∠A=∠D. (2)若AE=BE,求证：CF=DF. 考点5-3 典例精讲 双“X字形” O A E B D F C ∴CF=DF 证明：(1)∵BO=1,CO=3,AO=1.5,DO=4.5, ∴OB:OC=OA:OD. ∵∠AOB=∠COD, ∴△OAB∽△ODC. ∴∠A=∠D． (2)∵∠A=∠D, ∴AB∥CD． ∴AE:DF=OE:OF,BE:CF=OE:OF. ∴AE:DF=BE:CF. ∵AE=BE. 考点5-4 典例精讲 “A+X字型”相似 【例4】如图,F在BD上,BC,AD相交于点E,且AB∥CD∥EF,若AB=2,CD=3,则EF=___. A E C F D B 6 5 解：∵AB∥CD∥EF. BE CE = AB CD ∴ = 2 3 ∴△ABE∽△DCE,△DEF∽△DAB, BF FD = BE CE FD BD = 3 5 ∴ EF AB = FD BD , EF 2 = 3 5 即： ∴EF= 6 5 BF FD = 2 3 ∴ A M E D C B 【例5】如图,在△ABC中,AM=CM,E在AB上,且AE=AB,连接EM并延长交BC的延长线于点D.求证：BC=2CD F F 1.AF∥BC 2.AF∥DE 考点5-5 典例精讲 构造“双A或双X”字型 F 3.DF∥AB F 4.DF∥AC A M E D C B F 5.BF∥DE F 6.BF∥AC A M E D C B A M E D C B A M E D C B A M E D C B F 7.CF∥DE F 8.CF∥AB F 9.EF∥BC F 10.EF∥AC F 11.MF∥BC F 12.MF∥AB 12.MF∥AB 知识梳理 课堂小结 “X字形”及其变形 类别 正X字形 斜X字形 双A字形 双X字形 A+X字形 图形 条件 结论 B O C D A A O C D B AB∥CD ∠BAC=∠BDC △AOB∽△COD △AOB∽△DOC △AOD∽△BOC 双8型(共圆) B O E D C A ∠ADE=∠ACB ①△ADE∽△ACB ③△BOD∽△COE ④△BOC∽△DOE ②△AEB∽△ADC A N F E M C B A F N E C M B EF∥BC EN BM = FN MC 【例2-4】如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,且BD=2AD,CE=2AE. (1)求证：△ADE∽△ABC. (2)若DF=2,求FC的长度. 考点3-2 典例精讲 “A+X字型”相似 A F D E C B (1)证明：∵BD=2AD,