专题5.2 相似---A字形及其变形-2024年中考数学二轮复习必会几何模型剖析（全国通用）

专题五 与相似有关的模型 人教版中考第二轮总复习---几何模型 §5.2 “A字形”及其变形 考点归纳 模型分析 相似的基本模型 相似三角形是几何中重要的证明模型之一,是全等三角形的推广,分析图形间的关系离不开数量的计算.相似和勾股是产生等式的主要依据(其他依据还有面积法,三角函数等),因此要掌握相似三角形的基本图形,体会其各种 演变和联系.现将基本模型总结如下： 模型一 A字形； 模型二 X(8)字形； 模型三 K字形。 对于“A字形”及“ X字形”(或作平行线或其他辅助线去构造“AX字形”)问题，一般利用平行线分线段成比例定理或相似三角形的判定、性质去进行比例变形、等量代换，寻找中间比，从而将问题解决. 【例1】如图,点D,F在△ABC边AC上,点E在边BC上,且DE∥AB,CD2=CF·CA. (1)求证：EF∥BD. (2)如果AC·CF=BC·CE,求证：BD2=DE·BA 考点5-1 典例精讲 正“A字形”相似 C D B A E F ∴BD2=BA·DE. 证明:(1)∵DE∥AB, ∴CD:AC=CE:CB． ∵CD2=CF·CA， ∴CD:AC=CF:CD. ∴CF:CD=CE:CB． ∴EF∥BD． (2)∵EF∥BD， ∴∠CEF=∠CBD. ∵AC·CF=BC·CE， ∴AC:BC=CE:CF ∵∠C=∠C， ∴△CEF∽△CAB. ∴∠CEF=∠A. ∴∠DBE=∠A. ∵DE∥AB， ∴∠EDB=∠DBA.∠DBE=∠A， ∴△BAD∽△DBE. ∴BA:BD=BD:DE. 【例2】如图,在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上,∠AED=∠B,线段AG分别交线段DE,BC于点F,G,且AD:AC=DF:CG, (1)求证：△ADF∽△ACG. (2)若AD:AC=3:7,求AF:FG的值. 考点5-2 典例精讲 斜“A字形”相似 A D C B E G (1)证明：∵∠AED=∠B,∠DAE=∠CAB, ∴△AED∽△ABC ∴∠ADF=∠C. ∵AD:AC=DF:CG ∴△ADF∽△ACG. (2)解：∵△ADF∽△ACG， ∴AD:AC=AF:AG ∵AD:AC=3:7. ∴AF:AG=3:7. ∴AF:FG=3:4. 【例3】如图,在△ABC中,D为BC边上一点,BC=3BD,∠BAD=∠C. 求证：AC=AD. 考点5-3 典例精讲 “母子形”相似 A D C B 证明：∵∠BAD=∠C,∠B=∠B, ∴△BAD∽△BCA. ∵BC=3BD, ∴ = BA BC BD BA = AD AC ∴BA= BD. 3 ∴AC= AD. 3 【例4】如图,在△ABC中,∠BAC=90º,D为AC中点,AE⊥BD,E为垂足. 求证：∠CBD=∠ECD. 考点5-4 典例精讲 “射影型”相似 A E D B C 由射影定理得：DA2=DE·DB 等积代换 ∵D为AC中点， ∴DA=DC ∴DC2=DE·DB ∴△DCE∽△DBC ∴∠CBD=∠ECD 【例5】如图,E是四边形ABCD的对角线BD上一点,且,∠EAB=∠DAC, 求证：∠EAD=∠BDC. 考点5-5 典例精讲 “旋转形”相似 ∵∠AEB=∠EAD+∠ADE,∠ADC=∠BDC+∠ADE ∵∠EAB＝∠DAC， ∴△ABE∽△ACD ∴∠AEB＝∠ADC ∴∠EAD＝∠BDC A E D C B 证明： ∵ = . AB AE AC AD ∴ = AB AC AE AD 知识梳理 课堂小结 “A字形”及其变形 类别 正A型 斜A型 母子型 射影型 旋转型 图形 条件 结论 A C B E D A C B D A C B E D DE∥BC ∠AED=∠B ∠ACD=∠B △ADE∽△ABC △ADE∽△ACB △ADC∽△ACB (斜射影) AC2=AD·AB A C B D CD⊥AB,AC⊥BC BC2=BD·BA. △CAD∽△BCD∽△BAC AC2=AD·AB； △ABC∽△ADE CD2=AD·BD； B D A E C A C E D B ④△BAD∽△CAE ②∠BAC=∠DAE ③∠BAD=∠CAE ① = AB AD AC AE 查漏补缺 针对训练 “A字形”及其变形 1.如图,在△ABC中,D为AB边上一点,且∠BCD=∠A,已知BC=2,AB=3,则BD=_____. 2.如图,D是△ABC的边BC上一点,AB=4,AD=2,∠DAC=∠B,如果△ABD的面积为15,那么△ACD的面积为_____. 3.如图,△ABC中,∠A=∠DBC,BC=,SΔBCD∶SΔABC=2:3,则C