专题5.1 相似---比例式或乘积式的证明技巧-2024年中考数学二轮复习必会几何模型剖析（全国通用）

专题五 与相似有关的模型 人教版中考第二轮总复习---几何模型 §5.1 比例式或乘积式的证明技巧 考点归纳 知识梳理 题型概述 通过前面的学习,我们知道,比例线段的证明,离不开“平行线模型”(A型、X型、K型等),也离不开下面的6种“相似模型”. “模型”只是工具,怎样选择工具,怎样使用工具,取决于我们如何思考问题.合理的思维方法,能让模型成为解题的利刃,让复杂的问题变简单. 【技巧一】三点定型法 【技巧二】等长代换法 【技巧三】等比代换法 【技巧四】等积代换法 【例1】如图,平行四边形ABCD中,E是AB延长线上的一点,DE交BC于F. 求证： A D C F E B 三点：C、D、F； 三点：A、D、E。 技巧4-1 典例精讲 三点定型 DC AE = CF AD 【例2-1】如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在边BA的延长线上,CE交AD于F,∠ECA=∠D. 求证：AC·BE=CE·AD. 替换比列式中的某“一条”线段. A F D C E B 技巧4-2 典例精讲 等长代换法 找不到相似三角形,用“等长代换法”试一试. AC AD = CE BE BC AC CE = AD BE FC FD = FB FD 【例2-2】如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,AD的垂直平分线交AD于E,交BC的延长线于F.求证：FD2=FB·FC. 替换比列式中的两条线段. A E F C D B FA 技巧4-2 典例精讲 等长代换法 FA 【例3】如图,已知AB∥CD,AC、BD相交于点O. 求证：OA•PD=OC•PA AB∥CD A O B C D P △PAB∽△PDC △AOB∽△COD OA•PD=OC•PA 技巧4-3 典例精讲 等比代换法 两次运用平行线中的A型或X型找中间比 OA OC = PA PD (本题的中间比是： ) AB CD PA PD = AB CD OA OC = AB CD OA OC = PA PD E F 求证：AE=BE 结论：两腰延长线的交点,对角线的交点,上下两底的中点,四点共线. 【例4】如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F, 求证：AE·AB=AF·AC A F C D B E 技巧4-4 典例精讲 等积代换法 AE AC = AF AB 三点：A、E、F； 三点：A、B、C. 方法二：由射影定理得：AD2=AE·AB；AD2=AF·AC. (本题的中间积是：AD2) 知识梳理 课堂小结 相似三角形的五大证明技巧 比例线段的证明,离不开“平行线模型”(K型、A型、X型等),也离不开6种“相似模型”。 本节课我们学习了相似三角形的5大证明技巧中的哪3种？ 我们学习了 ①三点定型法； ②等长代换法； ③等比代换法； ④等积代换法. “模型”只是工具,怎样选择工具,怎样使用工具,取决于我们如何思考问题.合理的思维方法,能让模型成为解题的利刃,让复杂的问题变简单。 技巧5-1 针对训练 三点定型 1.在Rt△ABC中,AD是斜边BC上的高,BE平分∠ABC交AC,AD于E,F. 求证：BF•BC＝BA•BE A F E C D B 三点：A、B、F； 三点：B、C、E。 解：∵BE平分∠ABC, ∴∠1=∠2, 1 2 ∵AD是斜边BC上的高, ∴∠BAC=∠ADC=90º, 3 4 ∴∠3+∠4=∠4+∠C=90º, ∴∠3=∠C, ∴△ABF∽△CBE, ∴BF•BC＝BA•BE, 三点定形 BF BE = AB BC ∴ BF BE = AB BC D E A M C B 证明：∵∠BAC=90º,M为BC的中点. ∴AM∶MD=ME∶AM 1.如图,△ABC中,∠BAC=90º,M为BC的中点,DM⊥BC交CA的延长线于D,交AB于E,求证：AM2=MD·ME. ∵∠BAC=90º,DM⊥BC ∴MA=MB ∴∠B=∠1 ∴∠D=∠B=90º-∠C ∴∠1=∠D ∵∠2=∠2 ∴△EAM∽△ADM ∴AM2=MD·ME 三点：A、M、E； 三点：A、M、D。 三点定型 AM MD = ME AM 1 2 技巧5-1 针对训练 三点定型 技巧5-2 针对训练 等长代换法 2.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60º,E是射线CB上一点,F是边CD上一点,且∠EAF=120º.求证：. AC 替换比列式中的某“一条”线段. A F D C B E 3.如图,△ABC中,AB=AC,AD是中线,P是AD上一点,过C作CF∥AB,延长BP交AC于E,交CF于F.求证：BP2=PE·PF. 证明：连接PC ∴PC2＝PE·PF