专题19 相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型-2024年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（全国通用）

专题19 相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型． A字型和8 (X )字型的应用难点在于过分割点(将线段分割的点)作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线(倍长中线就可以理解为一种间接作平行线) ， 这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。 模型1. “A”字模型 【模型解读与图示】 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 图1　 　图2 　 　 图3 1）“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝. 2）反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝. 3）同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔ 例1．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是，，，上的点，且，若菱形的面积等于24，，则 ．    例2．（2023·安徽·九年级期末）如图，在三角形中，点D、E分别在边、上，，，，．(1)求证：；(2)若的平分线交于点F，交于点G，求．    例3．（2022·山东东营·中考真题）如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为____________． 例4．（2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值． (3)如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长． 例5. （2023•安庆一模）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥AB．（1）若点D是边BC的中点，且BE＝CF，求证：DE＝DF；（2）若AD⊥BC于D，且BD＝CD，求证：四边形AEDF是菱形；（3）若AE＝AF＝1，求+的值． 模型2. “X”字模型（“8”模型） 【模型解读与图示】 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 图3 图4 1）“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝. 2）反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝. 3）平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论： 4）斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4. 例1．（2022·辽宁·中考真题）如图，在正方形中，E为的中点，连接交于点F．若，则的面积为___________． 例2．（2023·黑龙江·哈尔滨九年级阶段练习）如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 例3．（2021·上海·中考真题）如图，在梯形中，是对角线的中点，联结并延长交边或边于E．（1）当点E在边上时，①求证：；②若，求的值；（2）若，求的长． 例4．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为，的面积为．（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证： （2）探索推广：如图②，若与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图③，在上取一点E，使，过点E作交于点F，点H为的中点，交于点G，且，若，求值． 模型3. “AX”字模型（“A8”模型） 【模型解读与图示】 图1 图2 图3 1）一“A”一“8”模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF⇔ 2）两“A”一“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC；结论：. 3）四“A”一“8”模型 条件：如图3，DE∥AF∥BC,；结论：AF=AG 例1．（2022·山东东营·