专题4.5 圆---利用“瓜豆”模型求最值-2024年中考数学二轮复习必会几何模型剖析（全国通用）

专题四 与圆有关的模型 人教版中考第二轮总复习---几何模型 §4.5 利用“瓜豆”模型求最值 “主从联动模型”在网络上也叫“瓜豆模型”,出自成语“种瓜得瓜,种豆得豆”.在这一类动点问题中,一个动点随另一个动点的运动而运动,我们把它们分别叫做从动点和主动点,从动点和主动点的轨迹是一致的,即所谓“种瓜得瓜,种豆得豆”.解决这一类问题通常用到旋转和放缩,也就是我们常说的全等型和相似型的手拉手模型. 知识要点 模型分析 主从联动模型专题 【引例】如图,△APQ是等腰直角三角形,∠PAQ=90º且AP=AQ,当点P在直线BC上运动时,求Q点轨迹? 【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话,P、Q轨迹是同一种图形. C B P Q A Q2 P2 P1 Q1 考点2-1 模型分析 直线(线段)型轨迹 当确定轨迹是线段的时候,可以任取两个时刻的Q点的位置,连线即可. 比如Q点的起始位置和终点位置,连接即得Q点轨迹线段. 考点2-1 典例精讲 直线(线段)型轨迹 【例1】如图，等腰△ABC的面积为,AB=AC,BC=2.作AE∥BC且AE=BC.点P是线段AB上一动点,连接PE,过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F,M是线段EF的中点.那么,当点P从A点运动到B点时,点M的运动路径长为( ) A. B.3 C. D.4 B A M E P F C B A E C B (P1) (F2) M1 M2 (F1) (P2) 考点2-1 典例精讲 直线(线段)型轨迹 【例1】如图,正方形ABCD的边长为2,动点E从点A出发,沿边AB向终点B运动,以DE为边作正方形DEFG(点D、E、F、G按顺时针方向排列).在点E的整个运动过程中,点F经过的路径长为______. A C G F B E D 【分析】点E是主动点,点F是从动点,连接DF,我们可以这么看,DE绕点D顺时针旋转45º并放大为DE的 倍,即得DF,而点E的运动轨迹为线段AB,那么点F的路径长必为线段AB绕点D顺时针旋转45º,并放大为原来的倍的路径长. 2 2 解析：易证△ADE∽△BDF,因此∠FBD=90º. ∴F经过的路径长为AB,即2 2. 2 ∵E点运动路径长为AB. ∴F点运动轨迹为线段,BF=AE. 2 1.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(4,0),点B为y轴正半轴上一动点,连接AB,以AB为一边向下作等边△ABC,连接OC,则OC的最小值为____. 【方法一】将OA顺时针旋转60º到O´A. ∴O´B的最小值为0´B´的长2. 易证△OAC∽△O´AB. ∴0C=O´B. 易证△0´0A为等边三角形. 过点O作O´B´⊥y轴,O´B´≤O´B. 2 ∴0(2, 3). y O x C A B B´ Q´ 由△ABO≌△AC´C"易推得∠0C"C=60º. 当点C在y轴上时,即C"(0, ). 当OC⊥C´C"时,OC最小. 4 3 3 - 直线C´C"就是C点运动轨迹所在的直线. 【方法二】当点B在点O处,点C在点C´处,C´(2,- 3). ∴OCmin= OC"=2. 3 2 y O x C" A B C C´ 考点2-1 针对训练 直线(线段)型轨迹 2.如图,△ABC中,∠ACB=90º,∠A=30º,BC=2,D是AB上一动点,以DC为斜边向上作等腰Rt△DCE,使∠CED=90º,连接BE,求BE的最小值. A D E C B F H G 【分析】E是由D绕C点逆时针旋转45º并缩小为√2/2倍得到的,因此如果把△ABC绕着C点逆时针旋转45º,并缩小为√2/2倍得到△GFC,则FG就是E点的运动轨迹. 【简答】分别以BC,AC为斜边构造等腰直角△BFC,△AGC. 易证明△ACD∽△GCE,△FCG∽△BCA, ∴△CFE∽△CBD, ∴∠CFE=∠CBD, ∴∠CFE=∠CFG=60º, ∴F,E,G三点共线, ∴∠BFH=30º, ∴BH= BP= ,即BE的最小值为 . 1 2 2 2 2 2 考点2-1 针对训练 直线(线段)型轨迹 【引例】如图,已知A是⊙O外一点,P是⊙O上的动点,线段AP的中点为Q,连接OA,OP.若⊙O的半径为2,OA=4,则线段OQ的最小值是( 　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 B 考点2-2 典例精讲 圆型运动轨迹 A Q P O M 【思考】当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是？ 解：连接AO,取AO的中点M,连接QM,PO. ∴QM是△APO的中位线. ∴QM=0.5PO=0.5r. ∴点Q在以M为圆心,0.5r为半径的圆上. 古人云：种瓜得瓜,种豆得豆.种圆得圆,种线得线，谓之“瓜