专题4.4 圆---利用“阿氏圆”模型求最值-2024年中考数学二轮复习必会几何模型剖析（全国通用）

专题四 与圆有关的模型 人教版中考第二轮总复习---几何模型 §4.4 利用“阿氏圆”模型求最值 一线段系数不为1 01 两线段系数均不为1 02 求差最大的问题 03 知识要点 精讲精练 2 考点归纳 知识梳理 题型概述 近几年中考数学,有一些高频考题,如线段最值问题,动点路程问题,除了填空选择关于圆的计算以及解答题关于圆的证明以外,常常会以压轴题的形式考察圆的重要性质.在这些题目的图形中往往没有出现“圆”,但在解题时却要用到“圆”的知识点,我们把这种类型的题目称之为“隐圆模型”. 在辅助圆问题中,我们了解了求关于动点最值问题的方式之一---求出动点轨迹,即可求出关于动点的最值. 我们继续讨论另一类动点引发的最值问题,在此类题目中,题目或许先描述的是动点P,但最终问题问的可以是另一点Q,当然P、Q之间存在某种联系,从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值,为常规思路. 在前面的“胡不归”问题中,我们见识了“kPA+PB”最值问题,其中P点轨迹是直线,而当P点轨迹变为圆时,即通常我们所说的“阿氏圆”问题. 已知平面上两点A、B,则所有满足PA:PB=k(k≠1)的点P的轨迹是一个圆,这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称“阿波罗尼斯圆”简称“阿氏圆”.如图,其中PA:PB=OP:OB=OA:OP=k. 知识点二 新知探究 阿氏圆模型 O A P N M B 角平分线定理：如图,在△ABC中,AD是BAC的角平分线,则AB:AC=DB:DC. F B A D C E 证法一：过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F, ∵S△ABD:S△ACD=(0.5AB·DE):(0.5AC·DF)=AB:AC, ∴AB:AC=DB:DC. S△ABD:S△ACD=DB:DC, ∵AD是BAC的角平分线, ∴DE=DF, 证法二：过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E, E ∴△ABD∽△ECD. ∴AB:AC=DB:DC. 考点3-1 知识归纳 两个定理 外角平分线定理：如图,在△ABC中,外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D,则AB:AC=DB:DC. 证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC,连接BD, A E D C B 即AB:AC=DB:DC. 则△ACD≌△AED(SAS), ∴CD=ED且AD平分BDE, ∴DB:DE=AB:AE, 考点3-1 知识归纳 两个定理 O A P N M B ∴P点轨迹是以MN为直径的圆. 证明：如图,PA:PB=k,作∠APB的角平分线交AB于M点, 根据角平分线定理,MA:MB=PA:PB=k, 故M点为定点,即∠APB的角平分线交AB于定点； 作∠APB外角平分线交直线B于N点, 根据外角平分线定理,NA:NB=PA:PB=k, 故N点为定点,即∠APB外角平分线交直线AB于定点； ∵∠MPN=90º,定边对定角, 知识点二 新知探究 阿氏圆模型 法二：建系 不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称,设A(-m,0),则B(m,0),设P(x,y),PA=kPB,即： 知识点二 新知探究 ∴(x+m)2+y2=k2(x-m)2+k2y2 ∴(k2-1)(x2+y2)-(2m+2k2m)x+(k2-1)m2=0 (x+m)2+y2 =k (x-m)2+y2 ∴x2+y2- x+m2=0 2m+2k2m k2-1 解析式满足圆的一般方程,故P点所构成的图形是圆,且圆心与AB共线.除了证明之外,我们还需了解“阿氏圆”的一些性质：(1)PA:PB=MA:MB=NA:NB=k. 应用：根据点A,B的位置及k的值可确定M、N及圆心0.(2)△OBP∽△OPA,即变形为OB:OP=OP:OA,OP²=OA·OB. 应用：根据圆心及半径和A,B其中一点,可求A,B另外一点位置.(3)OP:OA=OB:OP=PA:PB=k. 应用：已知半径及A,B中的其中一点, 即可知道PA:PB的值. O A P N M B α β β α α+β 知识点二 新知探究 已知P为⊙O上的动点,求kPA+PB的最小值.1.连接动点与圆心,将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连(即OP,OA)； 2.找出(或计算出)这两条线段的长度；3.计算两线段的比值OP:OA=k；4.在OA或OA的延长线上取点M,使得OM:OP=k,此时△OMP∽△OPA,∴PM:PA=k,∴PM=kPA,∴kPA+PB就转化为PM+PB； 5.连接BM,则kPA+PB的最小值就是BM的长. 上述步骤为基本题型的基本步骤,有时候系数不为1的线段不能直接转换,还需要利用提系数的方法进行转化,这样的题目还需要多尝试,题目并不是死的,它总