专题4.3 圆---利用“胡不归”模型求最值-2024年中考数学二轮复习必会几何模型剖析（全国通用）

专题四 与圆有关的模型 人教版中考第二轮总复习---几何模型 §4.3 利用“胡不归”模型求最值 【古老传说】从前有个少年外出求学,某天得知老父亲病危的消息后便立即回家.根据两点之间线段最短,虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地,但他义无反顾踏上归途,然而,当他赶来到父亲的面前时,老人刚刚咽气了.邻居告诉他,在弥留之际,老人在不断地叨念:“胡不归?胡不归?” 这个古老的传说,引起了人们的思索：少年忽略了在驿道上行走要比在砂地上行走快的这一因素.如果他能选择一条合适的路线,小伙子能否提前到家?若可以,他应该选择一条怎样的路线呢? 这就是风靡千百年的“胡不归”问题. B A 沙 砾 地 驿 道 D C 知识点一 情境导入 胡不归模型 不妨假设在AD上行走的速度为1个单位长度/s,在BD上行走的速度为2个单位长度/s,总共用时为：t= “已知在驿道和沙砾道行走的速度分别为v1和v2,显然v1＜v2,在BC上求一定点D,使从点A至点D、再从点D至点B的行走时间最短” AD1+D1H=AD1+BD1sin30º H E M 30º B D1 C A D2 第一步：在速度快的线段与起点相异的一侧,终点作一条射线,使之与该线段构成的角α的满足sinα=1/v； 第二步：过起点作射线的垂线； 第三步：该垂线与线段的交点即为所求. 知识点一 情境导入 胡不归模型 第四步：计算. 知识点一 模型归纳 胡不归模型 模型的特征： 问题中涉及到两个定点,一个动点. 解题思想： 折转直 解题步骤： 第一步：在系数不为1的线段的定端点处作一个角,使其的正弦值等于此线段的系数.(注意题目中的特殊角)； 第二步：过动点作上一步的角的边的垂线,构造直角三角形； 第三步：根据两点之间线段最短,找到最小值的位置； 预备知识 模型分析 胡不归模型 直角三角形斜边大于直角边,直角三角形中,斜边打一个折扣(sinα),化归为这个角的对边.斜边·sinα=对边. tan(α+β)= tanα+tanβ 1-tanα·tanβ sin(a+β)=sinα·cosβ+cosa·sinβ 条件：两定一动(动点一般在某确定的直线上运动) 两定：点A、B两点为定点； 一定：点P为直线AB外的一个动点 问题：确定动点P,使mPA+PB最短(0＜m＜1) 更一般地：使mPA+nPB最短(不妨设m＞n) 思路：设所求P点在直线AN上我们在直线AN异于B点的一侧构造∠NAM,使得sin∠NAM=m(相当于把mPA通过正弦打折化归到直角三角形的直角边.机不可失：我们作BF⊥AM交AN于P点,毫无疑问P点即为所求. mPA=PF,mPA+PB=BFBF即为mPA+PB的最小值(而mPA+PB＜AB,胡不归的来源) 模型识别 模型分析 胡不归模型 B A N P M F 更一般地：使mPA+nPB最短(不妨设m＞n).我们只须在上式中提取m、n中的较大者,即可化归到上述类型. 至于点P的位置和最小值的求法我们可以用几何或者代数的方法很容易得到解决.当然,如果我们能用正弦或者正切的和差化积的公式解决,就更“牛”了. 模型拓展 模型分析 胡不归模型 在类似的位置构造一个正弦等于n/m的角即可---m(PA+ PB) n m 知识点一 典例精讲 胡不归模型 【例1】如图,AC是⊙0的直径,AC=4,弧BA=120º,点D是弦AB上的一个动点,那么OD+0.5BD的最小值为______. A D O B C 解析：作BK∥CA,DE⊥BK于E,OM⊥BK于M,连接OB.由已知得∠BAC=30º,在Rt△DBE中,DE=0.5BD,∴0D+0.5BD=0D+DE,根据垂线段最短可知,当点E与M重合时,OD+0.5BD的值最小,最小值为OM=√3. K E M 知识点一 典例精讲 胡不归模型 【例2】如图,△ABC在直角坐标系中,AB=AC,A(0,),C(1,0),D为射线AO上一点,一动点P从A出发,运动路径为A→D→C,点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍,要使整个运动时间最少,则点D的坐标应为_________. 解析：设点P在DC上的速度为v,则时间 易得AC=3, ∴sin∠BAO=sin∠CAO=1/3,过点D做DE⊥AB于点E,过点C作CF⊥AB 于点F，则DE=1/3AD, ∴DE+DC最小时,即当D,E,C 三点共线时,t最小.DE+DC最小时，即当D、E、C三点共线时， t最小，此时∠DCO=∠BAO,∴sin∠DCO=1/3. 由勾股定理可求得OD= ,∴ y x A O C B D E D F 【例3】如图,菱形ABC