专题4.2 圆---利用“隐圆”模型求最值-2024年中考数学二轮复习必会几何模型剖析（全国通用）

专题四 与圆有关的模型 人教版中考第二轮总复习---几何模型 §4.2 利用“隐圆”模型求最值 考点归纳 知识梳理 “隐圆”模型概述 在辅助圆问题中,我们了解了求关于动点最值问题的方式之一---求出动点轨迹,即可求出关于动点的最值. 本节课我们继续讨论另一类动点引发的最值问题,在此类题目中,题目或许先描述的是动点P,但最终问题问的可以是另一点Q,当然P、Q之间存在某种联系,从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值,为常规思路. 近几年中考数学,有一些高频考题,如线段最值问题,动点路程问题,除了填空选择关于圆的计算以及解答题关于圆的证明以外,常常会以压轴题的形式考察圆的重要性质.在这些题目的图形中往往没有出现“圆”,但在解题时却要用到“圆”的知识点,我们把这种类型的题目称之为“隐圆模型”. 考点4-1 模型分析 点圆最值---点心线 O P 点P在⊙O外 B A O P 点P在⊙O内 B A C PA=PO-AO=PO-CO＜PC. PB=PO+BO=PO+CO＞PC. ∴PA最短 ∴PB最长 C PA=AO-PO=CO-PO＜PC. PB=PO+BO=PO+CO＞PC. ∴PA最短 ∴PB最长 点圆之间，点心线截距最短(长) 考点4-1 典型例题 点圆最值---点心线 【例1】有一架靠在直角墙面的梯子(MN=4)正在下滑,D点出有一只猫紧紧盯住位于梯子MN的正中间E处的老鼠,等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面,梯子,猫和老鼠看成同一平面内的线或点,点D到BA,BC的距离分别为4和2.猫与老鼠的距离DE的最小值为_______. N A D E M C B 2 5-2 考点4-1 针对训练 点圆最值---点心线 1.如图,⊙O、⊙C,OC=5,点A、B分别是平面内的动点,且OA=4,BC=3,则OB长的最大值为______,OB长的最小值为______,AC长的最大值为_____,AC长的最小值为______,AB长的最大值为______,AB长的最小值为____． 2.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,点E是AB边上的中点,点F是线段BC边上的动点,将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB´F,连接B´C,则B´C最小值是________. 1 8 2 9 12 0 O C A B B´ E F C D B B´ 2 10-2 A AB为⊙O的一条定弦,点C为圆上一动点,当点C在何处,△ABC的面积最大. 考点4-2 模型分析 线圆最值---心垂线 当CH⊥AB且CH的延长线过圆心O时,线段CH即为点C到弦AB的最大距离,此时△ABC的面积最大. C H 若点C在优弧AB上 O B A C 当CH⊥AB且CH过圆心O时,线段CH即为点C到弦AB的最大距离,此时△ABC的面积最大； O C B A H 若点C在劣弧AB上 考点4-2 典例精讲 线圆最值---心垂线 【例2-1】在△ABC中,AB=4,∠C=60º,∠A≥∠B,则BC的长的取值范围是___________,△ABC面积的最大值为____. C C A B 60º 4 O C 4≤BC≤ 8 3 3 4 3 考点4-2 模型分析 线圆最值---心垂线 O l 如图,⊙O与直线l相离,点P是⊙O上的一个动点,设圆心O到直线l的距离为d,⊙O的半径为r,则点P到直线l的最小距离是____,点P到直线l的最大距离是_____. d-r d+r A B P H M ∵OP+PM＞OM＞OH=OB+BH,OB=OP. ∵AH=OA+OH=OP+OH＞PH＞PM, ①线圆之间,心垂线截距最短(长). 结论：AH最长,BH最短. ∴PM＞BH. ∴AH＞PM. 考点4-2 典例精讲 线圆最值---心垂线 【例2-2】如图,在Rt△ABC中,∠C=90º,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=1,点E为边BC上的动点,△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是_____. P P H E A F C B E 1.2 考点4-3 模型分析 圆中最长弦---直径 1.定圆中最长的弦是直径； O B A D C 2.定弦中最小的圆是以该弦为直径的圆 A B O B A 3.经过圆中定点最短的弦是垂直于过这点直径的弦； O P C D E F H 考点4-3 典例精讲 圆中最长弦---直径 【例3-1】在△ABC中,∠ACB=90º,AC=6,BC=8,O为AB的中点,过O作OE⊥OF，OE,OF分别交射线AC,BC于E,F,则EF的最小值为____. 【简答】∵∠EOF=∠C=90º, B O A C E F F E 5 ∴C,O均在以EF为直径的圆上. ∵EF是圆的直径,O、C均在圆上,且OC长度固定,要使EF最短,则圆