专题4.1 圆---隐圆模型-2024年中考数学二轮复习必会几何模型剖析（全国通用）

专题四 与圆有关的模型 §4.1 “隐圆”模型 人教版中考第二轮总复习---几何模型 考点3-1 知识归纳 定点定长型 模型分析 图形 条件 结论 原理 特征 O B C A OA=OB=OC A、B、C,在以O为圆心,OA为半径的圆上. 到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心定长为半径的圆； 有几个点到同一个点的距离相等时,要想到构造圆. 考点3-1 典例精讲 定点定长型 【例1】如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,若∠CAD=50º,则∠CBD=_____. 25º B C D A 考点3-1 针对训练 定点定长型 1.如图,已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44º,则∠CAD=____. 2.如图,点O为线段BC的中点,点A,C,D到点O的距离相等,若∠ABC=40º,则∠ADC的度数是______. 88º A C D B B O C D A 140º 考点3-2 知识归纳 定边对定角 模型分析 图形 条件 结论 原理 备注 图① A P1 B P2 P3 O 弦AB所对同侧圆周角相等. 固定线段AB所对动角∠P为定值. 点P在优弧,劣弧上皆可. 点P运动轨迹为过A,B,P三点的圆. 考点3-2 典例精讲 定边对定角 【例2-1】如图,AC为边长为4的菱形ABCD的对角线,∠ABC=60º.点M和N分别从点B、C同时出发,以相同的速度沿BC、CA运动.连接AM和BN,交于点P,则PC长的最小值为____. 4 3 3 B P N M A D C 考点3-2 知识归纳 定边对定角---直径对直角 模型分析 图形 条件 结论 AB为定线段(即直径),线段AB外一点C与A,B两端形成的张角为直角(即∠ACB=90º), A C B 点C在以AB为直径的圆上运动.(不与A,B重合). 考点3-2 典例精讲 定边对定角---直径对直角 【例2-2】在正方形ABCD中,AD=2,E,F分别为边DC,CB上的点,且始终保持DE=CF,连接AE和DF交于点P,则线段CP的最小值为_____. A P F C E D B Q 5-1 考点3-3 知识归纳 四点共圆 模型分析 对角互补型 同侧等角型 图形 条件 结论 A B D C A B D C O O ∠ABC+∠ADC=180º A,B,C,D四点共圆 ∠BAD=∠BCD A,B,C,D四点共圆 考点3-3 典例精讲 四点共圆 【例3】如图,在四边形ABCD中,∠B=60º,∠D=120º,BC=CD=a, 则AB-AD=____. E 120º D C B A 60º 120º a a a a 1.如图,已知∠ABC=∠ADC=90º,∠DAB=45º,M，N分别是AC、BD的中点.若AC=10,则MN=____.　　 5 2 2 A M N C D B 考点3-3 针对训练 四点共圆 1.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90º,E为对角线AC的中点,连接BE,ED,BD.若∠BAD=58º,则∠EBD的度数为_____度． 32 A E D C B 四点共圆-对角互补 考点3-3 针对训练 四点共圆 2.如图,△ABD,△AEC都是等腰三角形,AB=AD,AE=AC,AC＞AB ∠BAD=∠EAC=α,连接CD,BE交于点P,连接AP. (1)求∠BPD的度数(用含α的代数式表示)； (2)求证：∠APD=∠ABD. (3)PA平分∠DPE. F E A P C E B D (3)①利用全等三角形对应边上的高相等得OE=OF； ②在利用到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. (1)(2)利用四点共圆求解 23.在△AOB中,∠AOB=90º,AO=BO=2,D为AO的中点,以O为圆心,DO为半径,作扇形COD,∠COD=90º,将扇形COD绕点O顺时针旋转α(0º＜α＜360º). (1)在旋转过程中,BD的最小值为_____； (2)当α=30º,试判断BD与CD的位置关系,并给予证明； (3)当C、D、B在同一直线上时,求BC的长。 ⌒ A D C B O 2 A D C B O E A B O D C D C D C 3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC＜90º,点M,N分别为边AB,BC的中点,连接MN,将△BMN绕点B顺时针旋转α,得到△BEF,连接AE,CF.当旋转角α满足0º＜α＜360º,点C,E,F在同一直线上时,证明点A,B,C,E四点共圆,并利用所提供的备用图探究∠BAE与∠ABF的数量关系,并说明理由. A N M C B A N M C B 备用图 E F E F 考点3-3 针对训练 四点共圆 1.如