专题3.3 旋转---半角模型-2024年中考数学二轮复习必会几何模型剖析（全国通用）

专题三 全等模型---旋转 §3.3 “半角”模型 人教版中考第二轮总复习---几何模型 理论依据 题型概述 旋转模型 1.常见图形: 等腰三角形,等边三角形,等腰直角三角形,正方形. O O C B A A O C B O A B C D E E A O C B 2.模型特征： ①有公共顶点的两个角,其中一个角是另一个角的一半； ②大角的两边相等； ③存在互补(或互余)的角. 3.解题思路: ③通过全等的性质得出线段之间的数量关系. ①以公共端点为旋转中心,相等的两条线段的夹角为旋转角； 将分散的条件集中,隐蔽的关系显现； ②证明一对轴对称的全等三角形； 图形示例 模型分析 等腰直角三角形含半角 当一个角包含着这个角的半角,常将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形,从而进行等量代换,然后证明与半角形成的三角形全等. 正方形 含半角 考点3-1 模型分析 半角模型---90°+45° E´ A C E D B A B E F D C 45º G 【例1-1】如图,已知△ABC是等腰直角三角形,点D,E在BC上,且∠DAE=45º. 求证:DE2=BD2+CE2 E´ A C E D B 方法一：将△ACE绕点A旋转到△ADE´,连接E´B得△ADE≌△ADE´ 再证Rt△BDE´ 方法二：将△ABD沿着AD翻折到△ADF,连接EF,得△ABD≌△AFD；△ACE≌△AFE；再证Rt△DFE A C E D B F 考点3-1 典例精讲 半角模型---90°+45° 【例1-2】如图,E,F是正方形ABCD的两边上的点,∠EAF=45º.求证:EF=DF+BE； E´ F´ 考点3-1 典例精讲 半角模型---90°+45° A B E F D C 45º 【分析】将△ABE绕点A逆时针旋转90º得△ADE´. 易证：AE´=AE,BE=DE´,∠E´AF=45º 易证：△AFE´≌△AFE(SAS)→EF=E´F ∴EF=E´F=DF+DE´=DF+BE． 将△ABE绕点A逆时针旋转90º得△ADE´. ∴△AEF≌△AE´F.(SAS) 证明：∵四边形ABCD正方形. ∴BC=CD=DA=AB,∠BAD=∠B=∠ADC=90º. ∴∠ADE´=∠B=90º,∠E´AD=BAE,AE´=AE,DE´=BE, ∵∠EAF=45º,∠BAD=90º. ∴∠BAE+∠DAF=45º. ∴∠E´AF=∠E´AD+∠DAF=∠BAE+∠DAF=45º. ∴EF=E´F=DF+BE 【例1-2】如图,若E,F分别在CB,DC延长线上时,∠EAF=45º.EF=DF+BE还成立吗?若成立,请证明.若不成立,写出新的结论,并证明. 考点3-1 典例精讲 半角模型---90°+45° E´ A B E F D C 45º F´ 【分析】将△ABE绕点A逆时针旋转90º得△ADE´. 易证：AE´=AE,BE=DE´,∠E´AF=45º 易证：△AFE´≌△AFE(SAS)→EF=E´F ∴EF=E´F=DF-DE´=DF-BE． 【变式1】如图,E,F是正方形ABCD的两边上的点,∠EAF=45º.求证:C△CEF=2BC； E´ ∴C△CEF=CF+EF+CE =CF+DF+BE+CE =BC+CD =2BC. 考点3-1 变式训练 半角模型---90°+45° 【分析】将△ABE绕点A逆时针旋转90º得△ADE´. 易证：AE´=AE,BE=DE´,∠E´AF=45º 易证：△AFE´≌△AFE(SAS)→EF=E´F 易证：EF=E´F=DF+DE´=DF+BE. A B E F D C 45º A B E F D C M N 45º 【变式2】如图,E,F是正方形ABCD的两边上的点,∠EAF=45º,BD交AE,AF于点M,N.求证：BM2+DN2=MN2 【分析】将△ADN绕点A顺时针旋转90º得△AMN´,连接MN´ N´ 考点3-1 变式训练 半角模型---90°+45° 易证：AN´=AN,DN=BN´,∠N´BA=∠NDA=45º,∠N´AM=45º 易证：△AMN´≌△AMN(SAS)→MN=MN´,∠N´BM=90º 易证：BN´2+BM2=MN´2． ∴BM2+DN2=MN2 【变式3】如图,E,F是正方形ABCD的两边上的点,∠EAF=45º,BD交AE,AF于点M,N,过点A作AH⊥EF于点H, 求证：(1)△ABE≌△AHE；△AHF≌△ADF； (2)EA平分∠BEF,FA平分∠DFE. 考点3-1 变式训练 半角模型---90°+45° A B E F D C M N 45º H 【变式4】如图,E,F是正方形ABCD的两边上的点,∠EAF=45º