专题3.2 旋转---三叉口模型-2024年中考数学二轮复习必会几何模型剖析（全国通用）

专题三 全等模型---旋转 §3.2 “三叉口”模型 人教版中考第二轮总复习---几何模型 1.模型特征： ①有公共顶点的两个角,其中一个角是另一个角的一半； ②大角的两边相等； ③存在互补(或互余)的角. 2.解题思路: ③通过全等的性质得出线段之间的数量关系. ①以公共端点为旋转中心,相等的两条线段的夹角为旋转角； 将分散的条件集中,隐蔽的关系显现； ②证明一对轴对称的全等三角形； 理论依据 题型概述 旋转模型 3.常见图形: 等腰三角形,等边三角形,等腰直角三角形,正方形. O O C B A A O C B O A B C D E E A O C B 【例1】如图,点P在等边△ABC的内部,且PC=6,PA=8,PB=10,将线段PC绕点C顺时针旋转60º得到DC,连接AD,则 (1)sin∠PAD的值为____； (2)则四边形APBD的面积为________. (3)S△ABP+S△BPC=_________. 解:(1)连接PD, ∴sin∠PAD=3/5 则△CPD是等边三角形,故PD=PC=6 易证△CPB≌△CDA ∴AD=BP=10 又∵AP=8, ∴△APD是直角三角形, (2)S四边形APBD=S△APD+S△PCD (3)S△APO+S△BPC =S△AEP+S△BEP 考点2-1 典例精讲 三叉口模型---等边三角形 A C B P D D 5 3 24+9 3 24+25 3 A C B P D A C B P D A C B P E A C B P F 【小结】如果说(1)(2)问是给出了辅助线,那么第(3)问便是完全自行构造旋转,这个图形也是一个固定搭配. 【搭配一】若PA2+PC2=PB2,则可任意旋转,得等边+直角. 且两条较短边夹角(∠APC)为150º. 【搭配二】若∠APC=150º，则有PA2+PC2=PB2. 考点2-1 模型分析 三叉口模型---等边三角形 1.如图,P为等边△ABC内的一点,且P到三个顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,则S△ABC=________. 【方法一】如图,将三个小三角形面积分别S1,S2,S3.由于△ABC是等边三角形,可将小三角形旋转到合适的位置,可得： 考点2-1 针对训练 三叉口模型---等边三角形 A P C B D S1 S3 S2 S1 A P C B E S1 S3 S2 S2 A P C B F S1 S3 S2 S3 同理可得： 【方法二】如图,易证∠APB=150º,过点A作BP的垂线交BP延长线于点H, A P C B H 考点2-1 针对训练 三叉口模型---等边三角形 1.如图,P为等边△ABC内的一点,且P到三个顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,则S△ABC=________. 2.如图,点P为等边△ABC内一点,且PA=5,PB=3,PC=4, (1)求∠BPC的度数；(2)求等边△ABC的边长；(3)求等边△ABC的面积. 解:(1)∵△ABC是等边三角形， ∴P´B=PB=3,P´C=PA=5,∠PBP´=ABC=60º. P´ H A P C B 3 4 5 将△ABP绕点B顺时针旋转60º得△CBQ, ∴AB=BC,∠ABC60º. ∴△PBP´为等边三角形. ∴△PBP´为等边三角形. ∴PP´=PB=3,∠BPP´=60º. ∵32+42=52. 即P´P2+PC2=P´C2. ∴∠P´PC=90º. ∴∠BPC=∠BPP´+∠P´PC=150º. (2)过点B作BH⊥PC于点H. 连接PQ. ∵∠BPC=150º. ∴∠BPH=30º. ∴BH=0.5BP=1.5. (3)S△ABC= 三线共点必旋转 考点2-1 针对训练 三叉口模型---等边三角形 【例2】如图,点P是正方形ABCD内一点,PA=,PD=2,PC=. (1)求∠APD的大小； (2)求正方形边长. 【思路点拨】 (1)将△APD绕点D逆时针旋转90º得△CQD,再连接PQ, (2)作CH⊥DQ于点H， 求得∠APD=∠CQD=45º+90º=135° 三线共点必旋转 考点2-2 典例精讲 三叉口模型---正方形 A P D C B H Q 求得CH=HQ=1,再由勾股定理得出CD= 10 已知在△ACB中,∠ACB=90º,AC=BC,PA=3,PC=2,PB=1,则∠BPC=______. A P B C P´ 135º 三叉口模型---三线共点必旋转 考点2-2 针对训练 三叉口模型---等腰直角三角形 【思考】如果放在正方形里,条件与结论又该如何搭配?作旋转之后,可得△AEP是等腰直角三角形,若使△PEB也为直角三角形,则∠APD=135º,而线段PA,