专题1.3 平分---角平分线的四种模型-2024年中考数学二轮复习必会几何模型剖析（全国通用）

专题一 平分模型 §1.2 与“角平分线”有关的模型 人教版中考第二轮总复习---几何模型 模型 图形示例 模型分析 角平分线 ＋ 边的垂线 如图,遇到角平分线上的点到角的一边的垂线时,一般过该点作另一边的垂线,构造双垂直求解. 角平分线 ＋ 两边的垂线 考点5-1 模型分析 角平分线+边的垂线 类型一 角平分线+边的垂线 构造 双垂直 O A P N B M A D C B E F F´ 作双高 定角夹定高 ∴AB=OC=9,BC=OA=12. 【例1】如图3,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,顶点C在y轴的正半轴上,OA=12,OC=9,连接AC. (1)填空：点B的坐标为_______；AC的长度为____.  (2)若CD平分∠ACO,交x轴于点D,求直线CD的函数表达式. 图3 A D O C B y x (12,9) 15 M ∴A(12,0),B(12,9),AC= AB2＋BC2= 92＋122=15. 解：(1)∵四边形OABC是矩形. ∴直线CD的解析式为y=-2x+9. (2)作DM⊥AC于M. ∵CD平分∠ACO,DO⊥CO.DM⊥AC. ∴DO=DM,∠COD=∠CMD=90º. ∵CD=CD. ∴Rt△CDO≌Rt△CDM(HL), ∴CM=OC=9. ∵AC=15. 设OD=x,则DM=x,AD=12-x. 在Rt△ADM中 ∵AD²=DM²+AM2. ∴x2+6²=(12-x)2, 解得x=4.5. ∴D(4.5,0). 设直线CD的解析式为y=kx+b, 把C(0,9),D(4.5,0)代入得： b=9. 0=4.5k+b 则 解得： b=9 k=-2 ∴AM=6. 考点5-1 典例精讲 角平分线+边的垂线 考点5-2 模型分析 角平分线+角平分线的垂线 类型二 角平分线+角平分线的垂线 构造 等腰三角形 A O B P N M E F C B A G 【例2】如图,在△ABC中,∠C=90º,AC=BC,AD平分∠BAC,BD⊥AD,若BD=2,则AE=____. 考点5-2 典例精讲 角平分线+角平分线的垂线 ∴AE=BF=2BD=4. 4 F 【解析】延长BD,AC交于点F. ∵AD平分∠BAC,AD⊥BD. ∴∠ABF=∠AFB,BD=FD,BF=2BD. ∵AD⊥BD,∠ACB=90º,∠AEC=∠BED. ∴∠EAC=∠FBC. ∵AC=BC. ∴△ACE≌△BCF. A B D E C 图形示例 模型分析 如图,若P是∠MON平分线上一点,点A是边OM上任意一点,可考虑在边ON上 截取OB=OA,连接PB,构造△OPB≌△OPA,进而将一些线段和角进行等量代换,这是常用的解题技巧之一. 考点5-3 模型分析 见角平分线作对称 类型三 见角平分线作对称 全等三角形 构造 M P A N O B 【例3】如图,在△ABC中,∠C=2∠B,AD平分∠BAC,求证:AB=AC+CD. F A B D C 1 2 3 ∴AB=AC+CD. 证法一：如图,在AB上截取AF,使AF=AC. ∵AD平分∠BAC, ∴∠1=∠2. ∵AD=AD ∴△AFD≌△ACD(SAS) ∴DF=DC,∠AFD=∠C. ∵∠C=2∠B.∠AFD=∠3+∠B. ∴∠3=∠B, ∴FD=FB. ∵AB=AF+FB=AC+FD. 考点5-3 典例精讲 见角平分线作对称 E ∴AB=AC+DC. 证法二：如图,延长AC到点E.使CE=DC. ∴∠CDE=∠CED. ∴∠ACB=2∠CED. ∵∠ACB=2∠B. ∴∠B=∠CED. ∴AD平分∠BAC. ∴∠1=∠2. ∵AD=AD ∴△ABD≌△AED(AAS). ∴AB=AE. ∵AE=AC+CE=AC+DC. 图形示例 模型分析 当题中同时出现角平分线和平行线时,注意找等腰三角形.一般地,角平分线,平行线,等腰三角形中任意两个条件存在,可得第三个条件(知二推一).OP平分∠MON,PQ∥ON,则△OPQ为等腰三角形. 考点5-4 模型分析 角平分线+平行线 O M Q P N 类型四 角平分线+平行线 等腰三角形 构造 【例4】如图,AC是正方形ABCD的对角线,∠DCA的平分线交BA的延长线于点E,若AB=3,则AE=______.  考点5-4 典例精讲 角平分线+平行线 E C D B A 3 2 【解析】∵AC是正方形ABCD的对角线,AB=3. ∵∠DCA的平分线交BA的延长线于点E. ∴∠DCE=∠ECA. ∵DC∥EB. ∴∠CEA=∠DCE. ∴∠CEA=∠ECA. ∴AC=3 2. ∴AE=AC=3 2. 图形示例 模型分析 夹角模型 BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,则点O为△A