专题1.2 平分---中点问题的常见模型-2024年中考数学二轮复习必会几何模型剖析（全国通用）

专题一 平分模型 专题1.1 与“中点”有关的模型 人教版中考第二轮总复习---几何模型 A E D C B A E D C B 连接BE 当三角形一边垂线过这边中点时,可以考虑用垂直平分线的性质得到(如图)：BE=CE,证明线段间的数量关系. 考点6-3 模型分析 垂直平分线模型 【例3】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90º,BC=3,AC=4,点D是AB的中点,过点D作DE⊥AB交BC的延长线于点E,则CE的长为_____. A E C B D 【思考】点D是AB的中点且DE⊥AB,你想到了哪些学过的知识： ______________________________________________________________. DE是线段AB的垂直平分线,垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 设CE=x,连接AE. ∵DE是线段AB的垂直平分线. ∴AE=BE=BC+CE=3+x. ∴在Rt△ACE中,AE2=AC2+CE2. 即(3+x)2=42+x2, 考点6-3 典例精讲 垂直平分线模型 7 6 解得x= 7 6 图形示例 模型分析 在直角三角形中,当遇见斜边中点时,经常会作斜边上的中线,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即CD=0.5AB来证明线段间的数量关系,而且可以得到两个等腰三角形：△ACD和△BCD,该模型经常会与中位线定理一起综合应用． B C A D 考点6-4 模型分析 直角三角形的斜边中线模型 【思考】在直角三角形中遇到斜边上的中点,你想到了哪些学过的知识：___________________________________. 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 【例4】如图,∠ACB=90º,点D为AB的中点,连接DC并延长到E,使CE=CD,过点B作BF∥DE,与AE的延长线交于点F,若BF=8,则AB的长度为____. 6 F C E D B A 解：如图,∵BF∥DE,点D是AB的中点. ∴ED是△AFD的中位线. ∴BF=2ED=8. ∴ED=CE+CD=4. ∵∠ACB=90º,D为AB的中点. ∴CD= 0.5AB. ∵CE=1/3CD. ∴AB=6. 考点6-4 典例精讲 直角三角形的斜边中线模型 图形示例 模型分析 当出现等腰三角形时,常隐含有底边中点,可利用其“三线合一”的性质.如图,在△ABC中, (1)AC=BC；(2)CD平分∠ACB；(3)AD=BD；(4)CD⊥AB. “知二得二”：比如由(2)(3)可得出(1)(4),也就是说,以上四条语句,任意选择两个作为条件,就可以推出剩下的两条. A D C B 考点6-5 模型分析 等腰三角形三线合一模型 【思考】在等腰三角形中遇到底边上的中点,你想到了哪些学过的知识：__________________________________________________. 【例5】如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点M为BC的中点,MN⊥AC于点N.则MN的长为____． A B N M C 等腰三角形底边中线、高线、顶角平分线“三线合一” 如图,连接AM. ∵AB=AC=5,点M为BC的中点. ∴AM⊥CM. ∵ 0.5AM×MC=0.5AC×MN. 考点6-5 典例精讲 等腰三角形三线合一模型 12 5 ∴AM= 52-32=4 ∴MN= AM·CM AC 12 5 = 图形示例 模型分析 当已知条件中同时出现两个及两个以上中点时,常考虑构造中位线；或出现一个中点,要证明平行线段或线段倍分关系时也常考虑构造中位线.利用三角形中位线的性质定理：DE∥BC,且DE=0.5BC,△ADE∽△ABC,则可得线段之间的相等或比例关系. A E D C B “角平分线,中点,垂直”只要出现了两个条件,考虑补全为等腰三角形三线合一模型. 考点6-6 模型分析 三角形中位线模型 【思考】在一般三角形中看到中点,你想到了哪些学过的知识： _____________________________________________________________. 过中点作平行线可构造中位线,中位线平行于底边且等于底边的一半. 【例6】如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,且AB=8，MN=3.则AC的长为( )A.3 B.7 C.8 D.14 D A N M C B D ∴AC=AD+DC=8+6=14. 解析：∵AN平分∠BAC. ∴∠BAN=∠DAN,AN=AN,∠ANB=∠AND=90º. ∴△ABN≌△AEN. ∴AD=AB=8,BN=ND. ∵M是△ABC的边BC的中点. ∴CD=2MN=2×3=6. 考点6-