专题1.1 平分---倍长中线模型-2024年中考数学二轮复习必会几何模型剖析（全国通用）

专题一 平分模型 §1.1 与“中点”有关的模型 人教版中考第二轮总复习---几何模型 倍长中线模型 01 倍长类中线模型 02 03 知识要点 精讲精练 目录 图形示例 考查题型 模型分析 解题原理 三角形(3次) 正方形(2次) 菱形(1次) 考点6-1 模型分析 倍长中线模型 A D C B E (1)以线段拼成三角形为背景考查新定义问题,倍长中线证明线段数量关系； (2)以正方形为背景,结合图形旋转,证明线段数量关系； (3)以一般三角形为背景,作倍长中线或平行倍长中线, 当已知条件中出现中线时,常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题. 如图,在△ABC中,D为BC的中点, 延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,则△ADC≌△EDB 找到三角形中线,倍长中线证明8字形三角形全等,从而得到线段数量关系. 【例1】如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,延长BE交AC于点F,AF=EF,求证：AC=BE. ②延长ED到点G,使得DG=DE,构造△CGD全等于△BED. 【思 考 】 你 能 想 到 哪 些 作 辅 助 线 的 方 法 ： ①延长AD到点G,使得DG=AD,构造△GDB全等于△ADC； A F C D B E G 证法一：如图,延长AD到点G,使得DG=AD,连接BG. ∵点D是BC的中点. ∴BD=CD. ∵∠BDG=∠CDA.AD=GD. ∴△ADC≌△GDB. ∴AC=GB.∠G=∠EAF. ∵AF=EF. ∴∠EAF=∠AEF. ∵∠AEF=∠BED. ∴∠G=∠BED. ∴BE=BG. ∴BE=AC. 考点6-1 典例精讲 倍长中线模型 A F C D B E G ∴AC=BE. 证法二：如解图②,延长ED到点G,使得DG=DE,连接CG. ∵点D是BC的中点. ∴BD=CD. ∵∠BDE=∠CDG,DG=DE. ∴△BED≌△CGD. ∴∠G=∠BED,BE=CG. ∵AF=EF. ∴∠FAE=∠AEF=∠BEG. ∴∠G=∠EAF. ∴AC=GC. 考点6-1 典例精讲 倍长中线模型 考点6-2 模型分析 倍长类中线模型 图形示例 模型分析 当已知条件中出现类中线(中点有关的线段)时,常常利用倍长类中线倍长构造全等三角形解决问题． 如图,在△ABC中,D为BC的中点,点E在AB上(不与点A,B重合), A D C B E F 延长ED到点F,使DF=ED,连接CF,则有△BED≌△CFD A D C E B 【例2】已知：如图,点E是BC的中点,点A在DE上,且∠BAE=∠D. 求证：AB=CD. 证明：延长DE到点F,使EF=DE,连接BF. F ∵点E是BC的中点, ∴BE=CE. 在△FEB和△DEC中, BE=CE,∠BEF=∠CED,EF=ED, ∴AB=CD. ∴△FEB≌△DEC(SAS). ∴∠F=∠D,BF=CD. ∴∠BAE=∠D. ∴∠BAE=∠F. ∴AB=BF. 考点6-2 典例精讲 倍长类中线模型 知识梳理 课堂小结 中点问题常用性质及常见辅助线作法 2.一边的垂线过这边中点 垂直平分线性质； 1.中线或与中点有关线段 中线倍长构造全等； 3.圆+弦或弧的中点 垂径定理或圆周角定理． 联想 联想 联想 联想 6.多个中点或平行+中点 4.直角三角形+斜边中点 5.等腰三角形+底边中点 构造中位线； 直角三角形斜边中线性质； 等腰三角形三线合一； 联想 联想 1.已知：如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于点F.求证：AF=EF. A D C F B E ∴△ADC≌GDB(SAS) 证明：延长AD到点G,使得DG=AD,连接BG. ∵AD是BC边上的中线, ∴DC=DB. 在△ADC和△GDB中 AD=GD,∠ADC=∠GDB,DC=DB, G ∴AF=EF. ∴∠CAD=∠G,AC=BG. ∵BE=AC. ∴BE=BG. ∴∠BED=∠G. ∵∠BED=∠AEF. ∴∠AEF=∠G. ∴∠AEF=∠CAD, 即∠AEF=∠FAE. 知识点一 针对训练 倍长中线模型 2.如图,在四边形ABCD中,∠A+∠B=90º,AD=6,BC=8,点E为AB的中点，DE⊥CE,求CD的长. 知识点一 针对训练 倍长中线模型 F A C D E B 证明：延长CE到点F,使得EF=CE,连接AF,DF. ∵点E为BC的中点, ∴AE=BE. ∵∠AEF=∠BEC, ∴△AEF≌BEC(SAS) ∴AF=BC=8,∠FAE=∠B. ∵∠A+∠B=90º. ∴∠A+∠FAE=90º.即∠FAD=90º. 由勾股定理得： DF= AF2+AD2 = 82+6