专题六.概率与统计专题进阶训练讲义-冲刺2024届高考数学

专题六、概率与统计专题进阶训练 1、 基础知识温顾 1.排列组合与二项式定理 （1）排列数公式：＝n（n－1）·（n－2）…（n－m＋1）＝ （2）组合数公式：＝＝，＝＋＝ 注：排序问题、分堆问题和圆排列问题 （3）二项式定理：（a＋b）n＝an＋an－1b1＋…＋an－kbk＋…＋bn（n∈N*） Tk＋1＝an－kbk，它表示第k＋1项；二项展开式中各项的系数为，，…，. 注：1.＋＋＋…＋＝2n； 2＋＋＋…＝＋＋＋…＝2n－1. 3.求（a＋bx）n（a，b∈R）的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用解出k. 4.求特定项（系数）、系数最大。 2.条件概率与全概率公式 （1）条件概率：一般地，设A，B为两个随机事件，且P（A）＞0，我们称P（B｜A）＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率. P（B｜A）＝；P（AB）＝P（A）P（B｜A） （2）全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai）. 3.超几何分布、二项分布与正态分布 （1）超几何分布：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P（X＝k）＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 注：求超几何分布的分布列的3个步骤 （1）验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值； （2）根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率； （3）用表格的形式列出分布列. （2）二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（0＜p＜1），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P（X＝k）＝pk（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p）.对于服从二项分布的随机变量X，E（X）＝np，D（X）＝np（1－p）. 注：要学会区分超几何分布与二项分布 （4）正态分布：若随机变量X服从正态分布，记为X～N（μ，σ2），其中E（X）＝μ，D（X）＝σ2，其正态密度函数为f（x）＝.当μ＝0，σ＝1时，随机变量X服从标准正态分布. 注：正态分布的三个常用数据 ①P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.682 7； ②P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.954 5； ③P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.997 3. 4.数学期望和方差 （1）数学期望：我们称E（X）＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. （2）方差：D（X）＝（xi－E（X））2pi为数据偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E（X）的平均偏离程度.称D（X）为随机变量X的方差，有时也记为Var（X），并称为随机变量X的标准差，记为σ（X）. 5.总体百分位数和分层随机抽样的均值与方差 （1）总体百分位数：一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100－p）%的数据大于或等于这个值。 注：求一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步：按从小到大排列原始数据； 第2步：计算i＝n×p%； 第3步：若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i＋1）项数据的平均数. （2） 分层随机抽样的均值与方差： 分层随机抽样中，如果样本量是按比例分配，记总的样本平均数为，样本方差为s2. 以分两层抽样的情况为例.假设第一层有m个数据分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为；第二层有n个数据，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为.则＝xi，＝（xi－）2，＝yi，＝（yi－）2. ①则＝＋； ②s2＝{m[＋（－）2]＋n[＋（－）2]}. 5.变量间的相关关系及回归模型和列联表与独立性检验 （1）变量间的相关关系及回归模型：经验回归方程为＝x＋， 其中＝＝，＝－； 注：1.相关系数r＝，｜r｜越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；2.样本中心点（）必过回归直线； 3.残差＝y－； 4.决定系数 （R2）法：R2＝1－.R2的值越趋近于1，模型的拟合效果越好. （2）列联表与独立性检验：小概率值α的临界值：对于任何小概率值α，可以找到相应的正