2024年九年级中考数学备考专题课件：辅助圆在解题中的应用

辅助圆在解题中的应用 课前热身 1. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠BDC＝22°，则∠BAC＝____． 44° 2.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是边AD的中点，N是边AB上的动点，将△AMN沿MN所在的直线折叠，得到△A′MN，连接A′C，则A′C的长的最小值 问题：解答过程中用到了哪些知识？ “圆”来如此 辅助圆概念： 根据问题的需要，通过利用圆的特征添加进题目的圆。也叫隐形圆，它能够帮助我们简化复杂的问题，使求解过程更为直观和简单。 基本思路：把“隐圆”化为“显圆” 知识储备 一 圆的定义：在同一平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形． 特点：存在定点(圆心)、过定点且长度一定的线段(半径). 知识储备 一 基本模型：如图①，已知平面内一定点A和一动点B，若AB长度固定，则动点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆． 静态问题(可视为定点定长类问题)： 如图②，AB＝AC＝AD，则B，C，D三点共圆，常借助圆周角定理来解决角度问题． 知识储备 一 动态问题：如图3，在旋转或折叠问题中，利用“定点定长作圆”模型确定动点的运动轨迹． 知识储备 二 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半。 圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等. 知识储备 三 点圆距离:圆外一点P,连接PO与圆交于A,B两点,设PO=d,半径为r,则PA为P到圆上最远距离d+r,PB为P到圆上最短距离d-r. 有“圆”来相会 定点定长构造圆 例1.如图，在四边形ABCD，AB＝AC＝AD＝3，∠DBC＝15°， ∠BDC＝30°. (1)画出B，C，D所在的圆； (2)求点A到BD的距离． 有“圆”来相会 上一页 下一页 返回首页 解：（1）如图，以A为圆心，AB为半径画圆． （2）∵AB＝AC＝AD＝3， ∴点B，C，D在以A为圆心，AB长为半径的圆上． ∴∠BAC＝2∠BDC＝60°， ∠DAC＝2∠DBC＝30°. ∴∠BAD＝90°. ∴△BAD是等腰直角三角形． 变式训练 1.如图,在△ABC内有一点D,使得DA=DB=DC,若∠DAB=20°,则∠ACB =　 　. 70° 变式训练 2.(2023厦门思明区月考)如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD， ∠CBD＝20°，∠BDC＝30°，则∠BAD＝_________． 100° 变式训练 3.如图，△ABC是等腰直角三角形，AD是其底边BC上的高，点E是AD上的一点，以CE为边向上作等边△CEF，连接BF.则∠CBF的度数为____． 有“圆”来相会 例2.如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，点F是边AD上一动点，将△AEF沿EF所在直线折叠得到△A′EF，请你在图中画出点A′的运动轨迹． 折叠——构造辅助圆 变式训练 1.如图，正方形ABCD的边长为2，点E在边BC上，沿AE将正方形进行折叠，使点B落在正方形ABCD内部的点P处，则CP长的最小值是（　C　） C 有“圆”来相会 例3.如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上(初始时，MN⊥BC)，MN的长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，请你在图中画出点E的运动轨迹． 解：点E的运动轨迹如解图所示． 旋转----构造辅助圆 变式训练 1. 如图，一长2米的梯子AB竖直放墙角(∠ACB＝90°)，P为AB的中点，若梯子AB沿墙下滑至水平放置，则在下滑的过程中，点P移动的路径长度为 ． 变式训练 G' 10 2.如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，F是BC的中点，连接EF，G是EF的中点，连接DG.在△BEF中，BE=2,∠BFE＝30° ，若将△BEF绕点B逆时针旋转，则在旋转的过程中，线段DG长的最大值为___． 巩固练习 下一页 1.如图，D是△ABC三边垂直平分线的交点，若∠A＝54°，则∠D＝_____度． 108 当堂训练 巩固练习 2. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2，D为AC边上一动点，将△BCD沿BD翻折，点C的对应点为点C′，则点D从点C运动到点A时，点C′经过的路径长为___． 2π 当堂训练 巩固练习 3.如图,在四边形ABCD,AB∥CD,AB=AC=AD=5,BC=6,则BD的长为 . 8 E 5 6 当堂训练 巩固练习 4.如图，将一个含45°角的三角板绕它直角顶点C逆时针旋转一定角度α(0°<α<90°)后得到△DEC，设CD与AB交于点F，连接AD，若AF＝AD，AC＝3，则点A运动到点D处时的路径长为__. 当堂训练 巩固练习 上一页 下一页 返回首页 5.如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝2，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，连接BD，则