不等式的性质与基本不等式 课件-2024届高三数学二轮复习

第一单元　集合、常用逻辑用语、不等式 第3课时　不等式的性质与基本不等式 知识梳理 1. 不等式的性质 性质1： a ＞ b ⇔ b ＜ a （对称性）； 性质2： a ＞ b ， b ＞ c ⇒ a ＞ c （传递性）； 性质3： a ＞ b ⇔ a ＋ c ＞ b ＋ c （可加性）； 性质4： a ＞ b ， c ＞0⇒ ac ＞ bc ； a ＞ b ， c ＜0⇒ ac bc （可乘性）； 性质5： a ＞ b ， c ＞ d ⇒ a ＋ c b ＋ d （加法法则）； 性质6： a ＞ b ＞0， c ＞ d ＞0⇒ ac ＞ bd （乘法法则）； 性质7： a ＞ b ＞0（ n ∈N， n ≥2）⇒ an ＞ bn （乘方法则）； 性质8： a ＞ b ＞0（ n ∈N， n ≥2）⇒ ＞ （开方法则）. ＜　 ＞　 2. 基本不等式 （1） 基本不等式：设 a ， b 均为正数，则 （当且仅当 a ＝ b 时，等号成立），其中 叫做正数 a ， b 的算术平均数， 叫 做正数 a ， b 的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. （2） 利用基本不等式求最值：已知 x ≥0， y ≥0. ① 如果积 xy 是定值 P ，那么当且仅当 x ＝ y 时，和 x ＋ y 有最小值 ⁠ ⁠； ≤　 2 　 ② 如果和 x ＋ y 是定值 S ，那么当且仅当 x ＝ y 时，积 xy 有最大 值 ⁠. 注意点：运用基本不等式求最值时要注意：“一正、二定、三 ⁠ ”；连续两次使用基本不等式求最值时，要注意不等号的方向是否 一致，且等号能否同时成立；利用基本不等式求最值的常用方法： “1”的代换、配凑法、消元法、换元法等. 　 相 等　 3. 比较两个实数大小的基本方法 （1） 作差比较法： a ， b ∈R， a ＞ b ⇔ a － b ＞0； a ＝ b ⇔ a － b ＝0； a ＜ b ⇔ ⁠. （2） 作商比较法：当 a ＞0， b ＞0时， ＞1⇔ a ＞ b ； ＝1⇔ a ＝ b ； ＜1⇔ ⁠. a － b ＜0　 a ＜ b 　 常用结论 1. （1） 倒数的性质： ① a ＞ b ＞0⇒ ＞ ＞0； ② a ＜0＜ b ⇒ ＜0＜ ； ③ a ＞ b ＞0，0＜ c ＜ d ⇒ ； ④ 0＜ a ＜ x ＜ b 或 a ＜ x ＜ b ＜0⇒ ＜ ＜ . ＞　 （2） 分数的性质 若 a ＞ b ＞0， m ＞0，则 ① 真分数的性质： ， ＞ （ b － m ＞0）； ② 假分数的性质： ＞ ， ＜ （ b － m ＞0）. ＜　 2. 几个常用不等式 （1） a 2＋ b 2≥2 ab （ a ， b ∈R），当且仅当 a ＝ b 时，等号成立. （2） ab ≤ （ a ， b ∈R），当且仅当 a ＝ b 时，等号成立. （3） （ a ， b ∈R），当且仅当 a ＝ b 时， 等号成立. （4） ＋ ≥2（ a ， b 同号），当且仅当 a ＝ b 时，等号成立. （5） ≤ 　 　≤ ≤ （ a ＞0， b ＞0），当且仅当 a ＝ b 时，等号成立. ≥　 　 1. 判断： （1） （RA一P43习题2.1第8题选项A改编）若 a ， b ， c ∈R， ac 2＞ bc 2， 则 a ＞ b . （　√　） （2） （RA一P57复习参考题2第2（1）题改编）若 ab ＞0， a ＞ b ，则0 ＜ ＜ . （　✕　） （3） （RA一P45例1改编） x ＋ 的最小值为2. （　✕　） （4） （RA一P45例1改编）函数 y ＝ sin x ＋ （0＜ x ＜π）的最小值 是4. （　✕　） √ ✕ ✕ ✕ 回归课本 2. （RA一P43习题2.1第8题）下列命题为真命题的是（　B　） A. 若 a ＞ b ＞0，则 ac 2＞ bc 2 B. 若 a ＞ b ＞0，则 a 2＞ b 2 C. 若 a ＜ b ＜0，则 a 2＜ ab ＜ b 2 D. 若