全等三角形基本模型综合训练（三）-2023-2024学年七年级数学下册全等三角形基本模型探究（北师大版）

全等三角形基本模型综合训练（三） 一、解答题 1．如图，、中，点D在上，与交于点F，． (1)如图1，若，，平分，求的度数． (2)如图2，若点F为中点，作，且，，连接．求证：． 2．（1）问题背景． 如图1，在四边形中，，，、分别是线段、线段上的点．若，试探究线段、、之间的数量关系．    小明同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明．再证明，可得出结论，他的结论应是____________． （2）猜想论证． 如图2，在四边形中，，，在线段上、在线段延长线上．若，上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成立，试写出相应的结论并给出你的证明．      （3）拓展应用． 如图3，在四边形中，，，AD平分，，，且，求四边形的面积．    3．已知点为的外角的平分线上一点．    (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，试比较与的大小关系； (3)如图3，在（1）的条件下，、分别是边、上的点，且，则线段、之间的数量关系为_____． 4．如图，在中，，射线交直线于点，过点作于点，直线交直线于点，连接．    (1)当点在线段上时，如图①，求证：； (2)当点在的延长线上时，如图②；当点在的延长线上时，如图③，线段，之间又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想，不必证明． 5．阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证：．    智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至，使， ∵是边上的中线∴ 在和中 ∴  ∴ 在中，（依据一） ∴．    任务一：上述证明过程中的“依据一”是指：____________________； 归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 任务二：如图3，，，则的取值范围是_____________；    任务三：如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，即在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由．    6．如图，等腰中，，，，点为射线上一动点，连接，作且．    (1)如图，过点作交于点，求证：； (2)如图，在（1）的条件下，连接交于点，若，求证：点为中点； (3)如图，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若，则________． 7．【模型呈现】如图（1）和（2）所示，，，直线经过点（不与，重合），过点作的垂线，垂足分别为，则有，．    （1）请你针对图（1）给出证明． 【模型应用】在图（1）的基础上，在射线上取一点，把线段绕点逆时针转得到，连接，交直线于点．    （2）如图（3），当点与点重合时，与的数量关系为___________； （3）如图（4），当点在的延长线上时，请判断与的数量关系，并给出证明； （4）如图（5），当点在线段上时，的值为___________． 8．如图，在中，是边上的高，是边上的高，相交于点，且．    (1)求证：． (2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒 ①点是线段上的一点（不与点重合），当时，__________（用含的代数式表示）；设，则__________（用含的代数式表示） ②点是直线上的一点且．是否存在值，使以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 9．如图，中，，以直角边AC为腰，向外作等腰直角三角形，，，点E是边上一点，且，． (1)探究：与的数量关系； (2)求证：； 10．下图是小明复习全等三角形时的一个思考，请帮助小明完成以下学习任务． 如图，平分，点P在上，M、N分别是、上的点，，求证：. 小明的思考：要证明，只需证明≌即可． 【证法】如图1，∵平分， ∴. 又∵，， ∴≌， ∴； 请仔细阅读并完成以下任务： (1)小明得出≌的依据是_________（填序号）. ①        ②        ③        ④        ⑤ (2)如图②，在四边形中，，的平分线和的平分线交于边上点P，求证：． (3)在中，，如图③，当，为的外角平分线时，线段、、有怎样的数量关系?请写出你的猜想并证明． 11．（1）如图1，，求的长度. （2）如图2，，探索的数量关系，并证明. （3）如图3，在中，，则______. 12．如图、等腰中，，E点为射线上一动点，连接，作且． (1)如图1，过F点作交于G点，则与的数量关系是_____________． (2)如图2，连接交于G点，若，求证：E点为中点； (3)如图