第五章 一元函数的导数及其应用复习学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

高二《数学》导学案 编制： 审核： 时间： §第五章 一元函数的导数及其应用 1．函数的平均变化率 (1)函数y＝f (x)，从x1到x2的平均变化率为＝，其中Δx＝x2－x1是相对于x1的一个“增量”，Δy＝f (x2)－f (x1)＝f (x1＋Δx)－f(x1)是相对于f(x1)的一个“增量”． (2)平均变化率的几何意义 设A(x1，f (x1))，B(x2，f (x2))是曲线y＝f (x)上任意不同的两点，函数y＝f (x)的平均变化率＝＝为割线AB的斜率，如图所示． [提示]　Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为零．平均变化率可正、可负、可为零． 2．瞬时速度与瞬时变化率 (1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． (2)函数f (x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f (x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限， 即 ＝ 3.导数的概念 (1)一般地，函数y＝f (x)在x＝x0处的瞬时变化率是 ＝ ，我们称它为函数y＝f (x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ . (2)如果函数y＝f (x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f (x)在开区间(a，b)内的导函数．简称导数，记作f′(x)或y′. 4．导数的几何意义 函数y＝f (x)在点x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率k，即k＝ ＝f′(x0)． 切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 5．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导数 f (x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f (x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1 f (x)＝sin x f′(x)＝cos x f (x)＝cos x f′(x)＝－sin x f (x)＝ex f′(x)＝ex f (x)＝ax(a>0) f′(x)＝axln a f (x)＝ln x f′(x)＝ f (x)＝logax(a>0，a≠1) f′(x)＝ 6.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f (x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f (x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f (x)g′(x)； (3) ′＝(g(x)≠0)． 7．复合函数的导数 复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 8.函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f (x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f (x)在(a，b)内单调递增 f′(x)<0 f (x)在(a，b)内单调递减 f′(x)＝0 f (x)在(a，b)内是常数函数 9.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系：一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 10.函数的极值与导数 条件 f′(x0)＝0 x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0 x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0 图象 极值 f (x0)为极大值 f (x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 11.函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f (x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f (x)在[a，b]上单调递增，则f (a)为函数的最小值，f (b)为函数的最大值；若函数f (x)在 [a，b]上单调递减，则f (a)为函数的最大值，f (b)为函数的最小值． (3)函数的最大(小)值的存在性 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. (4)求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值． 题型一 变化率问题 一、单选题 1．函数在处的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 2．如图，函数y＝f (x)在[1，5]上的平均变化率为（    ） A． B． C．2 D