2024年北师大版数学中考复习专训圆中常用的作辅助线的方法

专训　圆中常用的作辅助线的方法 名师点金： 在解决有关圆的计算或证明题时，往往需要添加辅助线，根据题目特点选择恰当的辅助线至关重要．圆中常用的辅助线作法有：作半径，巧用同圆的半径相等；连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等；作直径，巧用直径所对的圆周角是直角；证切线时“连半径，证垂直”以及“作垂直，证半径”等． 方法1 作半径，巧用同圆的半径相等 例1．如图，两彼此相邻，且大正方形ABCD的顶点A，D在半圆O上，顶点B，C在半圆O的直径上；小正方形BEFG的顶点F在半圆O上，E点在半圆O的直径上，点G在大正方形的边AB上．若小正方形的边长为4 cm，求该半圆的半径． 1.如图点A、D、G、B在半圆上，四边形ABOC,DEOF,HMNO均为矩形，设BC=a,EF=b,NH=c,则下列说法正确的是（ ） A. a＞b＞c B. a＝b＝c C. c＞a＞b D. b＞c＞a 方法2 连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等 例2．如图，圆内接三角形ABC的外角∠ACM的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BM，垂足为H.求证：AP＝BH. 2.如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（　　） A． B．2 C． D． 方法3 作直径，巧用直径所对的圆周角是直角——在圆中牵涉到三角函数的运算或与直径的计算与证明时，常作辅助线的方法是作直径，利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形，从而将问题转化到直角三角形中去解决 例3. 如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N． （1）求证：BA·BM=BC·BN； （2）如果CM是⊙O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值． 3. 如图, 点A、B、C在⊙O上（AC不过O点），A B C · O D 图3 若∠ACB=60°,AB=6，求⊙O半径的长。 4. 如图，已知在⊙O中，AB、CD是两条弦，且AB⊥CD，于点G，OE⊥BC于点E. 求证：OE=AD.F C D A B · O E 图4 G 5．如图，⊙O的半径为R，弦AB，CD互相垂直，连接AD，BC. (1)求证：AD2＋BC2＝4R2； (2)若弦AD，BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两个根(AD>BC)，求⊙O的半径及点O到AD的距离． (第3题) 方法4 证切线时辅助线作法的应用 例4．如图，△ABC内接于⊙O，CA＝CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D.判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由． 6．如图9，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°. (1)先作∠ACB的平分线，设它交AB于点O，再以点O为圆心，OB长为半径作⊙O(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； (2)求证：AC是所作⊙O的切线； (3)若BC＝，sinA＝，求△AOC的面积 (第6题) 方法5 遇到弦时（解决有关弦的问题时） 常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。或者连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。 作用：1、利用垂径定理； 2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； 3、利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。 4、可得等腰三角形； 5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。 例5：如图，ＡＢ是⊙O的直径,PO⊥AB交⊙O于P点，弦PN与AB相交于点M， 求证：PM•PN=2PO2. 7. 如图，AB为⊙Ｏ的直径，PQ切⊙Ｏ于T，AC⊥PQ于C，交⊙Ｏ于D，AD=2，TC=.求⊙Ｏ的半径。图7 A B C D O P T Q M 8.如图2，已知在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点. 求证：AC=BD.· Ｃ Ｄ Ａ Ｅ Ｂ Ｏ 图8 9．如图，在半径为5的