分类计数原理与分步计数原理 讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

分类计数原理与分步计数原理 【考纲解读】 1、 理解并掌握分类计数（或称加法）原理，能够运用分类计数（或称加法）原理解答相关的数学问题； 2、 理解并掌握分步计数（或称乘法）原理，能够运用分步计数（或称乘法）原理解答相关的数学问题。 【知识精讲】 一、分类计数（或称加法）原理： 1、分类计数（或称加法）原理： 【问题】 从甲地到乙地，可以乘火车也可以乘汽车，如果火车一天有3班，汽车一天有2班，那么在一天中某人要从甲地到乙地他共有多少种不同的走法？ 『思考问题』 （1）问题中的最终目的是从甲地到乙地，选择的基本方法是：①火车有三种不同走法；②汽车有两种不同走法； （2）无论是选择火车的走法，还是选择汽车的走法都能完成从甲地到达乙地的整件事情。 分类计数（或称加法）原理：完成一件事情有n类不同的方案，在第一类方案中有种不同的方法，在第二类方案中有种不同的方法，-----------在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事情共有方法是N=++-------+种不同的方法。 2、理解分类计数（或称加法）原理应该注意的问题： （1）分类计数（或称加法）原理的主要特征是不论采用哪种方案都能完成需要完成的整件事情； （2）判断一个问题是不是属于分类问题的基本方法是：实施这种方案后能不能把需要完成的整件事情做完。 3、分类计数（或称加法）原理的运用： 分类计数（或称加法）原理运用的基本方法是：①判断问题符不符合分类计数（或称加法）原理的特征；②在符合分类计数（或称加法）原理的条件下，运用分类计数（或称加法）原理解决问题。 二、分步计数（或称乘法）原理： 1、分步计数（或称乘法）原理： 【问题】 从甲地到乙地中间要经过丙地，由甲地到丙地只能乘火车，由丙地到乙地只能乘汽车，如果火车一天有3班，汽车一天有2班，那么在一天中某人要从甲地到乙地他共有多少种不同的走法？ 『思考问题』 （1）【问题】中的最终目的是从甲地经过丙地再到达乙地，从甲地到丙地只能选择火车，有三种不同的走法；从丙地到乙地只能选择汽车，有两种不同走法； （2）因为从甲地到丙地只走了全程的一段路程，还没有到达目的乙地，必须再从丙地到乙地才走完了全程的路程。 分步计数（或称乘法）原理： 完成一件事情，需要分成n个不同的步骤来进行，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，------------做第n步有种不同的方法，那么完成这件事情共有的方法是N=..-------.种不同的方法。 2、理解分步计数（或称乘法）原理应该注意的问题： （1）分步计数（或称乘法）原理的主要特征是不论采用哪种方法都只能完成需要完成的整件事情的一部分； （2）判断一个问题是不是属于分步问题，只需要看实施这种方法后是完成需要完成的整件事情，还是只完成了需要完成的整件事情的一部分。 3、分步计数（或称乘法）原理的运用： 分步计数（或称乘法）原理运用的基本方法是：①判断问题符不符合分步计数（或称乘法）原理的特征；②在符合分步计数（或称乘法）原理的条件下，运用分步计数（或称乘法）原理解决问题。 三、分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理的关系： 分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理的关系是：（1）联系：分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理都涉及到完成一件事情的不同方法的种数问题；②区别：分类计数（或称加法）原理的各种方法相互独立，其中的任何一种方法都可以完成需要完成的整件事情；分步计数（或称乘法）原理与完成的步骤有关，各个步骤相互独立，每一步骤只能完成需要完成的整件事情的一部分，只有所有步骤都结束时，需要完成的整件事情才能完成。 【探导考点】 考点1分类计数（或称加法）原理的运用； 考点2分步计数（或称乘法）原理的运用； 考点3分类计数（或称加法）原理与分步计数（或称乘法）原理的综合运用。 【典例解析】 【典例1】解答下列问题： 1、在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？ 2、已知f是集合M=｛a，b，c，d｝到集合N=｛0,1,2｝的映射，且f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4，则不同的映射有多少个？ 『思考问题1』 （1）【典例1】中两个问题的共同特点是实施任何一种方法都可以完成需要完成的整件事情，符合分类计数（或称加法）原理的特征； （2）解答【典例1】可以直接运用分类计数（或称加法）原理，求出符合条件的两位数的个数与符合条件的映射的个数。 〔练习1〕解答下列问题： 从1，2，3，4四个数中任意取数作和（不重复取），求做出不同的和共有多少个？ 【典例2】解答下列问题： 1、设集合M=｛-3，-2，-1,0,1,2｝，P（a,b）是坐标平面上的点，a、b∈M，P点可以表示： ①平面上多少个不同的点？ ②第二象限内的多少个点？