专题8.2 简单几何体的表面积与体积（3知识点+16考点）-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第二册）

专题8.2 简单几何体的表面积与体积 知识点一 几何体的面积 圆柱的侧面积 圆柱的表面积 圆锥的侧面积 圆锥的表面积 圆台的侧面积 圆台的表面积 球体的表面积 柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和. 把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积. 知识点二 几何体的体积 圆柱的体积 圆锥的体积 圆台的体积 球体的体积 正方体的体积 正方体的体积 知识点三 方法拓广 1．等积变换 (1)直线a∥b(如图(1))，c是a上一点，则对于a上任一点D，有S△ABC＝S△ABD． (2)若平面α∥平面ABC，且平面α经过点D，则对于平面α内任一点P，有VD－ABC＝VP－ABC． (3)对于三棱锥A－BCD，有VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－ABC． 2．割与补 当一个几何体的形状不规则时，无法直接运用体积公式求解，这时一般通过分割与补形，将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积，这种方法就称为割补法． 3．与球有关的组合体问题 (1)若一个长方体内接于一个半径为R的球，则2R＝ (a、b、c分别为长方体的长、宽、高)，若正方体内接于球，则2R＝a(a为正方体的棱长)； (2)半径为R的球内切于棱长为a的正方体的每个面，则2R＝a． 考点01 棱柱的面积问题 【典例1】（2024高一下·江苏·专题练习）如图所示，有一滚筒是正六棱柱形（底面是正六边形，每个侧面都是矩形），两端是封闭的，筒高，底面外接圆的半径是，制造这个滚筒需要 铁板（精确到）. 【典例2】（21-22高一下·全国·课时练习）底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是 . 【总结提升】 几类空间几何体表面积的求法 (1)多面体：其表面积是各个面的面积之和． (2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和． (3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补． 考点02 棱锥的面积问题 【典例3】（2024高一下·全国·专题练习）如图，四面体的各棱长均为，则它的表面积为 . 【典例4】（2024高一下·全国·专题练习）已知正四棱锥，其底面边长为8，侧棱长为，则正四棱锥的侧面积为 . 考点03 棱台的面积问题 【典例5】（2024·陕西·模拟预测）将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行电泳涂装．如图所示，已知该物件的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该物件的高为（    ） A． B．1 C． D．3 【典例6】（23-24高三下·广东·阶段练习）如图是一个正四棱台，已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2和6，体积为，则侧面积为 ． 考点04 棱柱的体积问题 【典例7】（2023·高一课时练习）已知三棱柱的体积为1，、Q、R分别为侧棱、、上的点且，则（    ） A． B． C． D． 【典例8】（21-22高一下·山东青岛·期中）已知正三棱柱的顶点都在同一个半径为的球面上，①当三棱柱的侧棱长等于底面边长时，三棱柱的体积为 ，②该三棱柱侧面积的最大值为 ． 【总结提升】 求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值. 考点05 棱锥的体积问题 【典例9】（23-24高三上·天津河北·期末）底面边长为，且侧棱长为的正四棱锥的体积和侧面积分别为（    ） A． B． C．32，24 D．32，6 【典例10】（2024高一下·全国·专题练习）如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，则三棱锥A1－D1EF的体积为 . 考点06 棱台的体积问题 【典例11】（2024·广西来宾·一模）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，体积为3，则该正四棱台的高为（    ） A．1 B． C． D． 【典例12】（23-24高三下·广东·阶段练习）如图是一个正四棱台，已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2和6，体积为，则侧面积为