专题8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系（5知识点+16考点）-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第二册）

专题8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系 知识点一 平面的基本性质 (1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)． (2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)． (3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 知识点二 空间两直线的位置关系 直线与直线的位置关系的分类：共面直线平行、相交；异面直线：不同在任何一个平面内 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 知识点三 异面直线所成的角 1．异面直线所成的角 1 定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)．异面直线a，b所成的角为直角，称a，b互相垂直，记作. 2 范围：. 2.异面直线的判定方法： 判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线； 反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面． 知识点四 空间中直线与平面之间的位置关系 1．位置关系：有且只有三种 ①直线在平面内——有无数个公共点； ②直线与平面相交——有且只有一个公共点； ③直线与平面平行——没有公共点． 直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外． 2.符号表示：直线l在平面α内，记为l⊂α；直线l与平面α相交于点M，记为l∩α＝M；直线l与平面α平行，记为l∥α． (3)图示：直线l在平面α内，如图a所示；直线l与平面α相交于点M，如图b所示；直线l与平面α平行，如图c所示． 知识点五 空间中两个平面之间的位置关系 1.位置关系：有且只有两种 ①两个平面平行——没有公共点； ②两个平面相交——有一条公共直线． 2.符号表示：两个平面α、β平行，记为α∥β；两个平面α、β相交于直线l，记为α∩β＝l． 3.图示：两个平面α、β平行，如图a所示；两个平面α、β相交于直线l，如图b所示． 考点01 空间位置关系及其表示 【典例1】（22-23高二上·上海浦东新·期中）下列各图符合立体几何作图规范要求的是（　　） A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面 【典例2】【多选题】（2024高一下·全国·专题练习）若点A在直线b上，直线b在平面内，则点A，直线b，平面之间的关系可以记作（    ） A． B． C． D． 【总结提升】 要注意符号语言的意义，如点与直线、点与平面间的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面间的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．由图形语言表示点、线、面的位置关系时，要注意实线和虚线的区别． 考点02 平面分空间的区域数量问题 【典例3】（2023·广东广州·模拟预测）三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（    ） A． B． C． D． 【典例4】（23-24高二上·上海崇明·期中）三棱台的各个面所在的平面，将空间划分为 个区域． 考点03 平面的基本性质及其辨析 【典例5】（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，在正方体中，P，Q分别是棱，的中点，平面平面，则下列结论错误的是（    ） A．过点B B．不一定过点B C．的延长线与的延长线的交点在上 D．的延长线与的延长线的交点在上 【典例6】（2024高一下·全国·专题练习）下列说法不正确的是（    ） A．三点可以确定一个平面 B．空间中两条直线能确定一个平面 C．共点的三条直线确定一个平面 D．三角形和梯形都可以表示一个平面 考点04 点（线）确定平面的数量问题 【典例7】（2024高一下·全国·专题练习）下列命题是真命题的是（    ） A．空间任意三个点确定一个平面 B．一个点和一条直线确定一个平面 C．两两相交的三条直线确定一个平面 D．两两平行的三条直线确定一个或三个平面 【典例8】（23-24高二下·上海·阶段练习）空间中三条平行直线最多确定 个平面. 考点05 空间点共线问题 【典例9】（2024高一·江苏·专题练习）如图所示，在正方体中，分别为上的点且．求证：点三点共线．    【典例10】（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 【总结提升】 证明多点共线的方法：(一)选择两点确定一条直线，然后证明其它点在这条直线上；(二)证明这些点都在两个平面内