微专题12 轻松解决空间几何体的体积问题-2023-2024学年高一数学常考点微专题提分精练（人教A版2019必修第二册）

微专题12 轻松解决空间几何体的体积问题 【题型归纳目录】 题型一：直接法 题型二：割补法 题型三：换底法 题型四：祖暅原理 【典型例题】 题型一：直接法 【典例1-1】（2024·高一·重庆·阶段练习）已知如图所示，是正方形外一点，平面为中点，. (1)求证：平面； (2)三棱锥的体积. 【典例1-2】（2024·高二·山东·学业考试）如图，在四棱柱中，底面为矩形，侧面为菱形，平面平面，． (1)求证：平面； (2)求四棱柱的体积． 【变式1-1】（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）如图，在棱长均为6的三棱柱中，D、分别是BC和的中点．    (1)求证：平面； (2)若平面平面，，求三棱锥的体积． 题型二：割补法 【典例2-1】（2024·四川南充·二模）已知多面体中，，且，，.    (1)证明：； (2)若，求多面体的体积. 【典例2-2】（2024·全国·高三专题练习）在多面体中，四边形为矩形，O，M分别为，BC的中点，，，，，． (1)求多面体的体积； (2)求三棱锥的体积． 【变式2-1】（2024·广东东莞·高一校考阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，截去三棱锥，求 （1）截去的三棱锥的表面积； （2）剩余的几何体的体积. 【变式2-2】（2024·辽宁沈阳·高二学业考试）过棱长为2的正方体的三个顶点作一截面，此截面恰好切去一个三棱锥，则该正方体剩余几何体的体积为（    ） A．4 B．6 C． D． 题型三：换底法 【典例3-1】（2024·全国·模拟预测）如图，在三棱锥中，△是边长为的正三角形，，． (1)求证：平面平面BCD； (2)若点E在棱BC上，且，求三棱锥的体积． 【典例3-2】（2024·高二·黑龙江大庆·开学考试）在边长为a的正方形中，E，F分别为，的中点，M、N分别为、的中点，现沿、、折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥，如图所示．    (1)在三棱锥中，求证：； (2)求四棱锥的体积． 【变式3-1】（2024·高二·上海闵行·阶段练习）已知四边形为直角梯形，，，为等腰直角三角形，平面⊥平面，E为的中点，，．    (1)求证：平面； (2)求证：⊥平面； (3)求三棱锥的体积． 【变式3-2】（2024·陕西宝鸡·一模）已知四棱锥中，，，，，为的中点.    (1)求证：平面； (2)若，，求四面体的体积. 题型四：祖暅原理 【典例4-1】（2024·高一·湖北·期末）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．根据祖暅原理，现在要用打印技术制造一个零件，其在高为的水平截面的面积为，则该零件的体积为 ． 【典例4-2】（2024·高一·湖南岳阳·期末）中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作经验，提出“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．上述原理在中国被称为祖暅原理．一个上底面边长为2，下底面边长为4，高为6的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为 ．    【变式4-1】（2024·山东日照·三模）祖暅，南北朝时代的伟大科学家，他在实践的基础上提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.请同学们借助图1运用祖暅原理解决如下问题：如图2，有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为2的铁球，再注入水，使水面与球正好相切（球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容器底部），则容器中水的体积为 .      【过关测试】 1．（2024·高二·贵州六盘水·期末）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”.也就是说“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆，则该几何体的体积为 . 2．（2024·高二·四川巴中·期中）如图，直角梯形中，，，为上的点，且，，将沿折叠到点，使.    (1)求证：平面平面； (2)求四棱锥的体积. 3．（2024·高三·青海西宁·开学考试）如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点，．