21.2.2《公式法解一元二次方程》教学设计-2023-2024学年人教版九年级数学上册

21.2.2《公式法解一元二次方程》之教学设计人教版九年级数学上册 教材分析 在课程教材体系中的地位：用配方法推导一元二次方程的求根公式，是在学生学习了一元一次方程（组）分式方程，一元二次方程的概念，开平方配方法的基础上学习的，求根公式的推导可以引出一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，以及为后续研究二次函数的相关知识做好铺垫。用配方法推导一元二次方程的求根公式，提供了了解一元二次方程的具有一般性的直接法，便于操作，便于使用，更重要的是在这一过程中，所体现的由特殊到一般由具体到抽象的，具有数学思维特征的通法，可以有效地提高学生推理能力和运算能力。公式法是解一元二次方程的基本方法，它利用了配方法解一元二次方程一般形式的结果，省略了配方过程，计算更加直接，且具有普适性。新人教版对本节内容的处理方式：将求根公式的推导、根的判别式和求根公式的初步运用作为一节的内容，在学完因式分解后，以选学的方式安排了一节一元二次方程的根与系数的关系。安排了 3课时。紧密结合学科教学内容，结合本节课教材的特点，可以从理性精神和思维严谨两处着手。在公式推导中，组织学生开展观察、猜测、实验、计算、推理、验证等探究活动，引导学生独立思考、坚持己见，培养学生求真求实的科学态度，以及勇于探索、敢于质疑、善于创新的科学精神。公式推导，解方程：在解决实际问题的过程中，让学生根据计算法则、运算顺序进行计算，体会计算法则和运算顺序的合理性和必要性，培养学生的规则意识，自觉尊重并运用法则解决问题的意识与习惯。通过习题演算逻辑推理、例题示范方式，使学生掌握逻辑归纳与演绎、思维严谨与流畅的思维品质。 教学目标 1.理解一元二次方程的求根公式的推导过程。 2.熟记求根公式，并理解公式中的条件。 3.能熟练地运用求根公式解一元二次方程 教学重难点 重点：掌握一元二次方程的求根公式，并熟练地运用求根公式求解一元二次方程。 难点：求根公式的推导。 教学过程 一、情境激趣课前热身 【活动 1】--教师 1.在对比配方法解一元二次方程解法的同时告诉学生只要知道一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项就可以直接得到方程的根。引发学生疑问，就在我们学的这节课的内容里。 二、复习回顾提出问题 【活动 2】--教师 2.请用配方法解下列方程思考：通过解方程， （1）比较三个方程的根有什么不同。 （2）是什么导致了根的不同？ （3）如何不解方程就能判断出根的不同？ 【活动 2】--学生 学生三人上黑板每人一道，其余学生在练习本上。一生通过自己解的方程带领大家复习配方法解一元二次方程的步骤。观察所解三个方程的根的情况，发现有两个相同实根、两个不同实数根没有实数根，系数发生了变化，根就发生了变化。从配方右边的结果可以看出根的不同。 【活动 2】--设计意图 通过解方程， （1）回顾用配方法解一元二次方程的步骤，为推导求根公式做方法的铺垫。 （2）发现根的特点的不同，探求系数不同，导致根的不同。 （3）启发从配方的结果，结合平方根的定义，发现根的不同，为求根公式推导过程中，对的讨论，做好铺垫。 三、自主探究排难解惑 【活动 3】--教师 3.数字系数能够用配方法解决，换成字母系数，我们还能用配方法解决吗？ ax2 +bx + c = 0 (a≠0)引导学生返回到开始所解三个方程，观察这三部分，引导发现配方后的右边其实是有三种情况的，而这三种情况决定了后续根的情况。从而思考的正负是需要讨论的。 【活动 3】--学生 （1）学生尝试用配方法解含有字母系数的一元二次方程，一生到黑板上展示解题的过程。 （2）通过该生的展示，根据前面解三个方程时的发现为启发，对展开分类讨论。 四、交流归纳揭示新知 【活动 4】--教师 4.根的存在性 （1）类比刚才学生对三个方程根的不同的比较，引导学生发现需要分类讨论。 （2）在分类谈论的基础上，发现 b2 - 4ac是判断根的情况的依据。引导学生发现通过△= b2-4ac判断根的情况的方法。 <1>当△>0时，一元二次方程 ax2 +bx + c = 0 (a ≠ 0)有两个不等的实数根。 <2>当△=0时，一元二次方程 ax2 +bx + c = 0 (a ≠ 0)有两个相等的实数根。 <3>当△<0时，一元二次方程 ax2 +bx + c = 0 (a ≠ 0)没有实数根。（后续会深入研究，只推导出结论） 5.公式法解一元二次方程 （1）求根公式一元二次方程 ax2 +bx + c = 0 (a ≠0)，当 b2 - 4ac≥0时，它的根是：x= 即 （2）公式法及步骤归纳 【活动 4】--学生 （1）类比刚才学生对三个方程根的不同的比较，引导学生发现需要分类讨论。 （2）在分类谈论的基础上，发现 b2 - 4ac是判断根的情况的依据。发现通过△= b2