专题9.5 矩形中的几何综合（压轴题专项讲练）-2023-2024学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题9.5 矩形中的几何综合 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则： 1. 不重（互斥性）不漏（完备性）； 2. 按同一标准划分（同一性）； 3. 逐级分类（逐级性）。 · 知识点总结 一、矩形的性质 1．平行四边形的性质矩形都具有； 2．角：矩形的四个角都是直角； 3．边：邻边垂直； 4．对角线：矩形的对角线相等； 5．矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． 二、矩形的判定方法 1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2．有三个角是直角的四边形是矩形； 3．对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）． · 典例分析 【典例1】在矩形中，是边上一点．    （1）若，平分，且，求的面积； （2）若是中点且，于点，求证：； （3）若，于点，连接并反向延长至点使得．点在直线上方，连接、，，，请探究并请直接写出与的数量关系． 【思路点拨】 （1）利用角平分线的性质，构造≌，同时得到含角的特殊，可求出，进而求出，再求面积． （2）将分割为、两段，过点作的垂线，垂足恰好是分割点，分别证明． （3）从，两个条件可发现，联想到可以构造手拉手模型，再通过“”字全等模型找到了与的数量关系，进而找到了与的数量关系． 【解题过程】 解：（1）在矩形中，，． 过作于，如图．    ，，， ≌． ． ，， ．即． ，， ， ． ． ． ． （2）过作于，过作延长线于，如图．    ， ，， ． 又， ≌． ，． ，，， 四边形是矩形． ，． ，，， ≌． ． ． 在中，． ． （3）作关于的对称，连接，，如图．    ， ，． ． ， ． ， ． ． 又，， ． ，． ，，， ． ，． ∴． ∴． ，， ． ． 为等边三角形， ， ． · 学霸必刷 1．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，以钝角三角形的最长边为边向外作矩形，连结，设，，的面积分别为，若要求出的值，只需知道(   )    A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．矩形的面积 2．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，矩形在矩形的内部，且，点，在对角线的异侧．连结，，，，若矩形矩形，且两个矩形的周长已知．只需要知道下列哪个值就一定可以求得四边形的面积（　　） A．矩形的面积 B．的度数 C．四边形的周长 D．的长度 3．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，对角线，交于点，点为边上一点，过分别作，，垂足为点，，过作，垂足为．若知道与的周长和，则一定能求出（    ）    A．的周长 B．的周长 C．的周长 D．四边形的周长 4．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，四边形是矩形，点在边上，平分且，垂足为点，连接并延长交于点，连接交于点，连接交于点，有下列结论：①；②垂直且平分；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ）个．    A．1 B．2 C．3 D．4 5．（22-23八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，四边形是矩形，点F是边的三等分点，，点是边的中点，连接，得到；点是的中点，连接得到；点是的中点，连接，得到；…按照此规律继续进行下去，若矩形的面积等于6，则的面积是 ． 6．（22-23九年级上·广东深圳·期中）如图，已知，，，E是边的中点，F为边上一点，，若，，则的值为 ． 7．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）如图，在矩形 中，，， 为 边上一动点，作 ，且 ．连接 ，．当 时，的面积为 ．    8．（22-23八年级下·江苏泰州·期中）如图，在矩形中，，E为上一点，且，作交边于F，将沿折叠后点C恰好落在边上的G处，则长＝ ．    9．（2024·江苏淮安·一模）如图，在矩形中，点E在上，且，，，点P是线段上的一个动点，将点B沿翻折得点F，当时， ．    10．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）如图，已知E、F分别