上海市高二数学下学期期中模拟03（沪教版2020：导数及其应用、数列、计数原理）-2023-2024学年高二数学下学期期中考点大串讲（沪教版2020选修）

2023-2024学年高二数学下学期期中模拟试卷03 考试时间：120分钟 满分：150分 测试范围：导数及其应用、数列、计数原理 一、填空题（满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1．设无穷等比数列的各项和为2，若该数列的公比为，则　　． 2．已知某质点的位移（单位：米）与时间（单位：秒）的运动方程为，则该质点在秒时的瞬时速度为 　　米秒． 3．已知函数，则的导数　　． 4．已知等差数列的公差为，首项，当且仅当时，其前项和取得最大值，则的取值范围是 　　． 5．已知直线是曲线的一条切线，则的值为　 　． 6．某商场举行抽奖活动，箱子里有10个大小一样的小球，其中红色的5个，黄色的3个，蓝色的2个，现从中任意取出3个，则其中至少含有两种不同颜色的小球的概率为 　　． 7．若，则　　． 8．的展开式中的系数是 　　． 9．若方程有三个不同实根，则实数的取值范围是 　　． 10．已知数列的前项和为，，，则　　． 11．如表为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻的开关改变状态．例如，按将导致，，，，改变状态．如果要求只改变的状态，则需按开关的最少次数为 　　． 12．已知数列的通项公式为，若存在，使得对任意的都成立，则的取值范围为　　 二、选择题（共18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 13．无穷等比数列的首项为，公比为，前项和为，且，则首项的取值范围是　　 A． B． C．，， D．，， 14．已知函数在处可导，若，则　　 A．1 B． C．3 D． 15．今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这三部电影，则恰有两人看同部影片的选择共有　　 A．9种 B．36种 C．38种 D．45种 16．天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”， ，以此类推．排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”， ，以此类推．在戊戌年你们来到成都七中，追逐那光荣的梦想．在1980年为“庚申”年，我国正式设立经济特区，请问：在100年后的2080年为　　 A．辛丑年 B．庚子年 C．己亥年 D．戊戌年 三、解答题（共78分，第17、18、19题每题14分，第20、21题每题18分）． 17．富比尼原理又称算两次原理，是组合数学中非常重要的计算方法，下面的组合恒等式可以用富比尼原理进行证明，具体如下：人中有1人是军人，从人中选人各奖励1颗星，共有种选法，另一方面，这等价于考虑这人中的军人是否被选中，若选中军人，则有种选法，若未选中军人，则有种选法，所以； （1）若，求关于的方程的解； （2）将题干中的问题推广到人中有人是军人的情形，写出结论并加以证明． 18．某市2020年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车牌照2万张．为了节能减推和控制总量，从2021年开始，每年电动型汽车牌照发放的数量比上一年增长，而每年燃油型汽车牌照发放的数量比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的汽车牌照超过15万张，以后每年发放的电动型汽车牌照的数量维持在这一年的水平不变． （1）记2020年为第一年，每年发展的燃油翻汽车牌照的数量构成数列，每年发放的电动型汽车牌照的数量构成数列，写出这两个数列的通项公式； （2）从2020年算起，求二十年发放的汽车牌照总量． 19．如图，是3行3列的数表，用，，2，表示位于第行第列的数，且满足，． 数表中有公共边的两项称为相邻项，例如上表中的相邻项仅有和．对于数表，定义操作为将该数表中的以及的相邻项从变为，其他项不变，并将操作的结果记为．已知数表满足，，，2，．记变换为个连续的上述操作，即，使得，并记． （1）给定变换，，，直接写出． （2）若满足，其他项均为0．是含次操作的变换且有，求的最小值． （3）若变换中每个操作至多只出现一次，则称变换是一个“优变换”，证明：任给一个数表，，，，，2，，存在唯一的一个“优变换” ，使得． 20．已知，函数． （1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程； （2）证明存在唯一的极值点； （3）若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围． 21．对于函数，把称为函数的一阶导，令，则将称为函数的二阶导，以