大题突破01 平行线压轴（四大题型）-2023-2024学年七年级数学下册同步备考系列卷（北师大版）

专题01 平行线压轴大题突破 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。 平行的基本模型有猪蹄模型，铅笔头模型。方法主要是过拐点作平行，利用平行的性质得出结论。 猪蹄模型： 结论：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP； 铅笔头模型 结论：若AB∥EF，则∠C+∠BAC+∠CEF=360°； 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 题型一：基本的平行线四种结论 1．如图，直线，连接，直线、及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点落在某个部分时，连接，，构成，，三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角） (1)当动点落在第①部分时，求证：； (2)当动点落在第②部分时，是否成立？如果成立，请说明理由；不成立直接写出结论． (3)当动点落在第③部分时，全面探究，，之间的关系，并写出动点的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明． 2．【感知】如图1，，，，求的度数． 小明的思路是：过点P作，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为 度；（直接写出答案） (2)【探究】如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由； (3)【迁移】在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），试着探究与、之间的数量关系是否会发生变化，请从下面①和②中挑选一种情形，画出图形，写出结论，并说明理由． ①点P在线段上； ②点P在射线上． 3．如图1，AB∥CD，∠PAB＝125°，∠PCD＝115°，求∠APC的度数． 小明的思路是：过P作PM∥AB，通过平行线性质来求∠APC． (1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为　 　度； (2)如图2，AB∥CD，点P在直线a上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点B、D两点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系 4．综合与实践： 问题情境： 如图 1，AB∥CD，∠PAB=25°，∠PCD=37°，求∠APC的度数，小明的思路是：过点P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC 问题解决： （1）按小明的思路，易求得∠APC 的度数为 °； 问题迁移： 如图 2，AB∥CD，点 P 在射线 OM 上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β． （2）当点 P 在 B，D 两点之间运动时，问∠APC 与α，β 之间有何数量关系？ 请说明理由； 拓展延伸： （3）在（2）的条件下，如果点 P 在 B，D 两点外侧运动时  （点 P 与点 O，B，D 三点不重合）请你直接写出当点 P 在线段 OB 上时，∠APC 与 α，β 之间的数量关系 ，点 P 在射线 DM 上时，∠APC 与 α，β 之间的数量关系 ． 5．小明同学遇到这样一个问题： 如图①，已知：，为之间一点，连接，得到． 求证：． 小亮帮助小明给出了该问的证明． 证明：过点作，则有 ∵ ∴ ∴ ∴ 请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题： (1)直线，直线和直线、分别交于两点，点分别在直线、上，猜想：如图②，若点在线段上，，，求的度数． (2)拓展：如图③，若点在直线上，连接、，直接写出之间的数量关系． 6．如图，已知直线l1//l2，l3、和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3． （1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2； （2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系； （3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明； （4）若点P在线段DC延长线上运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系． 7．【问题情境】如图①，，，，求的度数．小明的解题思路：过作，通过平行线的性质来求的度数． (1)按小明的思路，求的度数． 【问题迁移】 (2)如图②，，点在直线上运动，记，，当点P在线段BD上（不与B、D重合）时，与，之间有何数量关系?请说明理由． 【问题应用】 (3)在（2）的条件下，如果点不在线段BD上，请直接写出与，之间的数量关系． 8．问题情境 （1）如图1，已知，求的度数．佩佩同学的思路：过点作，进而，由平行线的性质来求，求得 ； 问题迁移 （2）图2，图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合与相交于点，有一动点在边上运动，连接，记．