第7章立体几何第5讲空间向量及其运算课件-2025届高三数学一轮总复习

第五讲　空间向量及其运算 知识梳理 · 双基自测 返回导航 知 识 梳 理 知识点一　空间向量的有关概念 1．空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有________和________的量叫做空间向量，其大小叫做向量的________或______. (2)零向量：长度为______的向量，记作0； 零向量与任意向量共线，0∥a； 单位向量：模为______的向量； 相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a； 相等向量：方向________且模________的向量． 大小 方向 长度 模 0 1 相同 相等 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第七章　立体几何 (3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线________或________，则这些向量叫做____________或____________. (4)共面向量：平行于同一________的向量叫做共面向量． 平行 重合 共线向量 平行向量 平面 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第七章　立体几何 2．空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一确定的λ∈R，使a＝λb. (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第七章　立体几何 3．空间向量的数量积及运算律 向量a，b的数量积a·b＝__________________. 〈a，b〉 0≤〈a，b〉≤π 互相垂直 |a||b|cos〈a，b〉 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第七章　立体几何 (2)空间向量数量积的运算律 结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； 交换律：a·b＝b·a； 分配律：a·(b＋c)＝__________________. a·b＋a·c 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第七章　立体几何 知识点二　空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．则   向量表示 坐标表示 数量积 a·b ________________________ 共线 a＝λb(b≠0) __________________________ 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) _____________________ 模 |a| __________________ 夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝_____________________ a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第七章　立体几何 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第七章　立体几何 知识点三　两个重要的向量 1．直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有________个． 2．平面的法向量 直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有________个，它们是共线向量． 无数 无数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第七章　立体几何 知识点四　空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇒n1＝λn2 l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔m·n＝0 l⊥α n∥m⇔n＝λm 平面α、β的法向量分别为n、m α∥β n∥m⇔n＝λm α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第七章　立体几何 归 纳 拓 展 1．向量三点共线定理 2．向量四点共面定理 3．|a|2＝a·a；|a·b|≤|a|·|b|. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第七章　立体几何 4．a·b>0⇔a、b的夹角为锐角或0角．即“a·b>0”是“a、b的夹角为锐角”的必要不充分条件． 5．向量法证明空间的线面平行或垂直 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第七章　立体几何 双 基 自 测 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两个非零向量a，b共面．(　 　) (2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(　 　) (3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(　 　) (4)两向量夹角的范