第3讲平面向量的数量积课件-2025届高三数学一轮总复习

第三讲　平面向量的数量积 知识梳理 · 双基自测 返回导航 知 识 梳 理 知识点一　向量的夹角 a与b的夹角为______时，则a与b垂直，记作a⊥b. ∠AOB [0，π] 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 知识点二　平面向量的数量积 1．定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝___________________，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. |a||b|cos θ 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 投影 投影向量 |a|cos θe 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 知识点三　平面向量数量积的性质及其坐标表示 1．设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝______________. x1x2＋y1y2 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 (5)已知两非零向量a与b，a⊥b⇔a·b＝0⇔__________________；a∥b⇔a·b＝±|a||b|(或|a·b|＝|a|·|b|)． x1x2＋y1y2＝0 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 2．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 归 纳 拓 展 1．两个向量的数量积是一个实数．∴0·a＝0而0·a＝0. 2．数量积不满足结合律(a·b)·c≠a·(b·c)． 3．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 4．两向量a与b的夹角为锐角⇔a·b>0且a与b不共线；两向量a与b的夹角为钝角⇔a·b<0，且a与b不共线．当a、b为非零向量时a、b同向⇔a·b＝|a||b|；a、b反向⇔a·b＝－|a||b|. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 5．投影向量的表示： 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 双 基 自 测 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (2)a·b>0，则a与b的夹角为锐角；a·b<0，则a与b的夹角为钝角．( ) (3)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.( ) (4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.( ) (5)(a·b)·c＝a·(b·c)．( ) × × × × × 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 题组二　走进教材 2．(必修2P36T2改编)向量a＝(2，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( ) A．6 B．5 C．1 D．－6 [解析]　由题意知2a＋b＝(3,0)，∴(2a＋b)·a＝(3,0)·(2，－1)＝6，故选A. A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 A．45° B．135° C．－45° D．30° A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 1 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 题组三　走向高考 B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 故选B. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 解法二：以D为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则E(1,2)，C(2,0)，D(0,0)， 故选B. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 A．－2 B．－1 C．1 D．2 C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 8．(2021·全国乙，14,5分)已知向量a＝(1,3)，b＝(3,4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________. [解析]　根据(a－λb)⊥b得(a－λb)·b＝0，再转化为坐标运算，得到关于λ的方程求解即可． 解法一：由a＝(1,3)，b＝(3,4)， 得a－λb＝(1－3λ，3－4λ)， 由(a－λb)⊥b得(a－λb)·b＝0， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 解法二：由(a－λb)⊥b得(a－λb)·b＝0， 即a·b－λb2＝0， a·b＝1×3＋3×4＝15，b2＝3×3＋4×4＝25， 返回导航