第3讲第1课时导数与不等式的证明课件-2025届高三数学一轮总复习

第三讲　导数的综合应用 知识梳理 · 双基自测 返回导航 知 识 梳 理 知识点一　利用导数证明不等式 若证明f(x)<g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果能证明F(x)在(a，b)上的最大值小于0，即可证明f(x)<g(x)，x∈(a，b)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 知识点二　利用导数解决不等式的恒成立问题 “恒成立”与“存在性”问题可看作一类问题，一般都可通过求相关函数的最值来解决，如：当f(x)在x∈D上存在最大值和最小值时，若f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)在x∈D上的最小值，将原条件转化为g(a)≤f(x)min；若f(x)≤g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)在x∈D上的最大值，将原条件转化为g(a)≥f(x)max；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，应求f(x)在x∈D上的最大值，将原条件转化为g(a)≤f(x)max；若存在x∈D，使得f(x)≤g(a)成立，应求f(x)在x∈D上的最小值，将原条件转化为g(a)≥f(x)min. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 知识点三　利用导数研究函数零点的方法 方法一：(1)求函数f(x)的单调区间和极值． (2)根据函数f(x)的性质作出图象． (3)判断函数零点的个数． 方法二：(1)求函数f(x)的单调区间和极值． (2)分类讨论，判断函数零点的个数． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 归 纳 拓 展 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 双 基 自 测 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝x－sin x有无数多个零点．(　　) × × √ × 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 题组二　走进教材 2．(选修2P99T13改编)若函数f(x)＝xln x－a有两个零点，则实数a的取值范围为(　　) C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 [解析]　函数的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝0得a＝xln x，记g(x)＝xln x. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 A．f(a)>f(b) B．f(a)＝f(b) C．f(a)<f(b) D．f(a)f(b)>1 C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 4．(选修2P99T12改编)求证：(1)ex≥x＋1；(2)ln x≤x－1(x>0)． [证明]　(1)设f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1在(－∞，0)上f′(x)<　0，在(0，＋∞)上f′(x)>0，故f(x)在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增，所以f(x)在x＝0处有最小值，故f(x)≥f(0)＝0，∴ex≥x＋1. (2)设f(x)＝ln x－x＋1(x>0)， 在(0,1)上f′(x)>0，在(1，＋∞)上f′(x)<0， ∴f(x)在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，f(x)≤f(1)＝0. ∴ln x≤x－1. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 题组三　走向高考 5．(2018·江苏)若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值的和为________. －3 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 第一课时　导数与不等式的证明 考点突破 · 互动探究 返回导航 直接作差构造函数证明不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 【卡壳点】作差构造函数 所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 【提醒】注意定义域范围 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 名师点拨： 1．待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，利用导数研究其单调性等相关函数性质证明不等式． 2．利用作差构造法证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数g(x)； (3)利用导数研究g(x)的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 所以F(x)在(1，＋∞)上单调递增，又F(1)＝0， 所以F(x)>0在(1，＋∞)上恒成立， 返回导航 高考