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高考大题规范解答——解析几何
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第八章 平面解析几何
评分细则:
(1)判断存在定点G,H不给分,须有推理论证(理由:分不够给).
(2)如果说点P的轨迹方程,而没有给出范围y≠0,扣1分.
(3)定点G,H的坐标要写出来,才能给12分点;如果定值没有求出来,不扣分.
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第八章 平面解析几何
1.(2024·陕西西安、河北保定部分校联考)(12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右顶点为M(2,0),点P在圆D:(x-3a)2+y2=2b2上运动,且|MP|的最大值为6.
(1)求椭圆C的方程;
(2)不经过点M的直线l与C交于A,B两点,且直线MA和MB的斜率之积为1,求直线l被圆D截得的弦长.
[解析] (1)由题可知a=2,(1分)
圆D:(x-3a)2+y2=2b2的圆心为D(3a,0),半径r=b,(2分)
所以|MP|max=|MD|+r=2a+b=6,
所以b=,(4分)
所以椭圆C的方程为+=1.(5分)
(2)当直线l的斜率不存在时,显然不符合题意,
故设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB:y=kx+m,
联立消去y整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0,
方程(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0的判别式Δ=32k2+16-8m2>0,
则(7分)
因为kMA·kMB=1,所以·=1,
所以(k2-1)x1x2+(km+2)(x1+x2)+m2-4=0,
整理得(m+2k)(m+6k)=0.(9分)
若m=-2k,则y=kx-2k=k(x-2),
则直线l过定点M(2,0),与题意矛盾;
若m=-6k,则y=kx-6k=k(x-6),
则直线l过定点(6,0).(10分)
因为圆D的圆心为(6,0),半径r=2,
所以直线l被圆D截得的弦长为4.(12分)
评分细则:
(1)在第一问中,求出a=2得1分,求出b=得3分,写出椭圆C的方程得1分.
(2)第二问总共7分,正确联立方程得1分,写出韦达定理得1分,得出直线过定点得3分,得出直线l被圆D截得的弦长为4,得2分.
(3)若用其他解法,参照评分标准按步骤给分.
2.(2024·福建福州质检)(12分)已知椭圆E:+=1的右焦点为F,左、右顶点分别为A,B.点C在E上,P(4,yP),Q(4,yQ)分别为直线AC,BC上的点.
(1)求yP·yQ的值;
(2)设直线BP与E的另一个交点为D,求证:直线CD经过F.
[解析] 解法一:(1)依题意,A(-2,0),B(2,0).(1分)
设C(x1,y1),则+=1,
直线AC方程为y=(x+2),
令x=4得yP=,(2分)
直线BC方程为y=(x-2),
令x=4得yQ=,(3分)
所以yPyQ==(4分)
=-9,
即yP·yQ的值为-9.(5分)
(2)证明:设D(x