第五章 第一节 椭圆双曲线，正设反设法-【老唐说题】高中数学新思路 圆锥曲线专题

■ １２０　 ■  ５!　 OPQRSTRS U>.2*2>2).V->+3W>.2).V->+3 　　高考发展几十年，圆锥曲线的计算方法呈现百花齐放的状态，韦达联立一直作为一切的根基， 虽然在解决一些问题的时候并非最优解，但是这也是圆锥曲线入门的必修课，本章节我们介绍一下 常规的韦达联立，也能为后面的同构联立增加一些理论支持． !"#$%&'(1) }~~J 　　直曲联立，用斜率作为参数，转韦达定理，最直接的用处就是弦长和面积问题，我们分别以椭 圆和双曲线来说明． 一、椭圆的正设与反设 问题：椭圆 ｘ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１ａ＞ｂ( )＞０与直线 ｌ：ｙ＝ｋｘ＋ｍ相交于 ＡＢ两点，求 ＡＢ的弦长． １．正设： 设 Ａ ｘ１，ｙ( )１ ，Ｂ ｘ２，ｙ( )２ ，则 ＡＢ ＝ ｘ２－ｘ( )１ ２＋ ｙ２－ｙ( )１槡 ２ ＝ １＋ｋ槡 ２ ｘ１＋ｘ( )２ ２－４ｘ１ｘ槡 ２ ｘ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１ ｙ＝ｋｘ＋ { ｍ ，得（ｂ２ ＋ｋ２ａ２）ｘ２ ＋２ａ２ｋｍｘ＋ａ２ｍ２ －ａ２ｂ２ ＝０所以 ｘ１＋ｘ２＝－ ２ａ２ｋｍ ｂ２＋ｋ２ａ２ ｘ１·ｘ２＝ ａ２ｍ２－ａ２ｂ２ ｂ２＋ｋ２ａ      ２ ＡＢ ＝ １＋ｋ槡 ２ ｘ２－ｘ１槡 ２ ＝ １＋ｋ槡 ２ ｘ１＋ｘ( )２ ２－４ｘ１ｘ槡 ２ ＝ １＋ｋ槡 ２２ａｂ ｂ２＋ｋ２ａ２－ｍ槡 ２ ｂ２＋ａ２ｋ２ ． 椭圆与直线交点的判别式：Δ＝４ａ２ｂ２ ｂ２＋ｋ２ａ２－ｍ( )２ 用来判断是否有交点问题． 面积问题：椭圆与直线 ｌ：ｙ＝ｋｘ＋ｍ相交与两点，Ｃ ｘ０，ｙ( )０ 为 ＡＢ外任意一点，求 Ｓ△ＡＢＣ．设 Ｃ 到 ｌ的距离为 ｄ，则 Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ ＡＢｄ＝１ ２ ＡＢ ｋｘ０－ｙ０＋ｍ ｋ２槡 ＋１ ＝ ｋｘ０－ｙ０＋ｍ ·ａｂ ｂ ２＋ｋ２ａ２－ｍ槡 ２ ｂ２＋ｋ２ａ２ ． ２．反设： 若椭圆中出现 ｘ２ ａ２ ＋ｙ２＝１ａ( )＞０，或者椭圆ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１ａ＞０，ｂ( )＞０与过定点 ｍ，( )０的直线 ｌ，则 直线设为 ｘ＝ｔｙ＋ｍ，如此消去 ｘ，保留 ｙ，构造的方程如下： ｘ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１ ｘ＝ｔｙ＋ { ｍ ，得 ａ２＋ｔ２ｂ( )２ ｙ２＋２ｂ２ｔｍｙ＋ｂ２ｍ２－ａ２ｂ２＝０ ｙ１＋ｙ２＝－ ２ｂ２ｔｍ ａ２＋ｔ２ｂ２ ｙ１·ｙ２＝ ｂ２ｍ２－ａ２ｂ２ ａ２＋ｔ２ｂ      ２ （就是将 ｘｙ，ａ !B#$CDEFGHFG ■■ １２１　 ■ ｂ）ＡＢ ＝ １＋ｔ槡 ２ ｙ２－ｙ１槡 ２ ＝ １＋ｔ槡 ２ ｙ１＋ｙ( )２ ２－４ｙ１ｙ槡 ２ ＝ １＋ｔ槡 ２２ａｂ ａ２＋ｔ２ｂ２－ｍ槡 ２ ａ２＋ｂ２ｔ２ ． 椭圆与直线交点的判别式：Δ＝４ａ２ｂ２ ａ２＋ｔ２ｂ２－ｍ( )２ 用来判断是否有交点问题． 已知椭圆方程为 ｘ２ ２ ＋ｙ２＝１与直线方程 ｌ：ｙ＝ｘ＋１ ２ 相交于 Ａ、Ｂ两点，求 ＡＢ的弦长． 正设：Ａｘ１，ｙ( )１ ，Ｂ ｘ２，ｙ( )２ 则 ＡＢ ＝ １＋ｋ槡 ２ ｘ２－ｘ１槡 ２ ＝ １＋ｋ槡 ２ ｘ１＋ｘ( )２ ２－４ｘ１ｘ槡 ２ 将 ｙ＝ｘ＋１ ２ 代入 ｘ２ ２ ＋ｙ２ ＝１得：３ｘ２ ＋２ｘ－３ ２ ＝０．所以 ｘ１＋ｘ２＝－ ２ ３ ｘ１·ｘ２＝－ １      ２ 所以 ＡＢ ＝ １＋ｋ槡 ２ ｘ２－ｘ１槡 ２ ＝２槡１１ ３ ． （２０１２·北京卷）已知椭圆 Ｃ：ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１ａ＞ｂ( )＞０的一个顶点为Ａ２，( )０，离心率为槡２２．直线 ｙ＝ｋｘ( )－１与椭圆 Ｃ交于不同的两点 Ｍ、Ｎ． （１）求椭圆 Ｃ的方程； （２）当△ＡＭＮ得面积为槡１０３ 时，求 ｋ的值． （１）ａ＝２；ｅ＝ｃ ａ ＝槡２ ２ ｃ＝槡２，ｂ＝槡２；故椭圆方程为 ｘ２ ４ ＋ｙ ２ ２ ＝１； （２）解法一（正设）：设 Ｍ ｘ１，ｙ( )１ ，Ｎ ｘ２，ｙ( )２ 则 ＭＮ ＝ ｘ２ －ｘ( )１ ２ ＋ ｙ２ －ｙ( )１槡 ２ ＝ １＋ｋ槡 ２ ｘ１＋ｘ( )２ ２－４ｘ１ｘ槡 ２； 将 ｙ＝ｋｘ－ｋ代入ｘ ２ ４ ＋ｙ ２ ２ ＝１得： ４ｋ２( )＋２ｘ２ －８ｋ２ｘ＋４ｋ２ －８＝０，所以 ｘ１＋ｘ２＝ ８ｋ２ ４ｋ２＋２ ｘ１·ｘ２＝ －４ｋ２－８ ４ｋ２      ＋２ ；ｄ＝ ２ｋ－０－ｋ １＋ｋ槡 ２ ＝ ｋ １＋ｋ槡 ２ ； Ｓ△ＡＭＮ＝ １ ２ ＭＮｄ＝ ｋ·２槡２· ２＋４ｋ ２－ｋ槡 ２ ２＋４ｋ２ ＝槡１０ ３  ７ｋ４－２ｋ２－５＝０，即 ７ｋ２( )＋５ ｋ２( )－１ ＝０ｋ＝ ±１． 方法二（反设）：令 ｋ＝１ ｔ ｘ＝ｔｙ＋１，联立得 ｘ２ ４