第四章 第五节 渐近线中三角形-【老唐说题】高中数学新思路 圆锥曲线专题

!:#$;<=>?@A ■■ １０７　 ■ （２）如图， ＲＦ２ ＝ ｅ ２ ＰＱ ＝１ ４ ＰＱ ＝ ３ ３＋ｓｉｎ２α （请自证）， ＯＲ ＝１－１ ４ ＰＱ ＝ ｓｉｎ ２α ３＋ｓｉｎ２α ，易知： ｔａｎα＝ＯＲＯＴ ＝ ｓｉｎ２α ｓｉｎ２α＋３ １ ８ ＝８ｓｉｎ ２α ｓｉｎ２α＋３ ＝ｓｉｎα ｃｏｓα ８ｓｉｎαｃｏｓα＝４ｓｉｎ２α＋３ｃｏｓ２α，即４ｔａｎ２α－８ｔａｎα＋３＝０；解得： ｔａｎα＝１２ 或 ｔａｎα＝３２ ，即 ｋ＝１ ２ 或 ｋ＝３ ２ ． !5#$tu12-@A 　　双曲线最特殊的就是渐近线了，从特征三角形离心率分析开始，我们又来到了面积的探索，其 实双曲线可以追溯到初中我们学习的反比例函数，因为将初中的反比例函数图象旋转 ４５°，再进行坐 标拉伸（仿射），就能得到我们现在看到的双曲线，而渐近线就是我们以前中学反比例函数的坐标轴， 仿射能将面积按照比例放大，而原始存在的一系列面积定值和一些定比分弦问题，依然存在． 　　　　 　　　　 一、渐近面积向量积定值 定理１：双曲线 Ｃ：ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１上的任意点 Ｐ到双曲线 Ｃ的两条渐近线的距离的乘积是一个常数 ａ２ｂ２ ｃ２ （左图）； 证明：设 Ｐ（ｘ１，ｙ１）是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是 ｂｘ－ａｙ＝０和 ｂｘ＋ ａｙ＝０，点 Ｐ（ｘ１，ｙ１）到两条渐近线的距离分别是 ｂｘ１－ａｙ１ ａ２＋ｂ槡 ２ ， ｂｘ１＋ａｙ１ ａ２＋ｂ槡 ２ 乘积 ｂｘ１＋ａｙ１ ａ２＋ｂ槡 ２ · ｂｘ１－ａｙ１ ａ２＋ｂ槡 ２ ＝ ｂ２ｘ２１－ａ ２ｙ２１ ｃ２ ＝ａ ２ｂ２ ｃ２ 定理２：过双曲线 Ｃ：ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１上的任意点 Ｐ作双曲线 Ｃ的两条渐近线的平行线，分别交渐近 线于 Ａ，Ｂ两点，则 ＰＡ ＰＢ是一个常数ｃ ２ ４ ，Ｓ四边形ＡＯＢＰ＝ ａｂ ２ ，ＯＡ!·ＯＢ! ＝ａ ２－ｂ２ ４ （中图）； 证明：如右图，过点Ｐ作ＰＭ⊥ｌ１于点Ｍ，ＰＮ⊥ｌ２于点 Ｎ，∠ＭＡＰ＝∠ＮＢＰ＝∠ＡＯＢ＝２α，其中 ｔａｎα ＝ｂ ａ ，则ｓｉｎ２α＝２ｓｉｎαｃｏｓα＝２ａｂ ｃ２ ， ＰＡ ＰＢ ＝ ＰＭ ＰＮ ｓｉｎ２２α ＝ａ ２ｂ２ ｃ２ · ｃ４ ４ａ２ｂ２ ＝ｃ ２ ４ ； Ｓ四边形ＡＯＢＰ＝ ＰＭ ＰＮ ｓｉｎ２α ＝ａ ２ｂ２ ｃ２ ｃ２ ２ａｂ ＝ａｂ ２ ；ＯＡ! ·ＯＢ! ＝ ＯＡ ＯＢｃｏｓ２α＝ ＰＡ (ＰＢ ２×ａ ２ ｃ２ )－１ ■ １０８　 ■  ＝ａ ２－ｂ２ ４ 我们将这个双曲线仿射拉伸成为等轴双曲线，再旋转４５°，我们来看一下，大概我们就知道了一 切的原委，如右图，过点 Ｐ作渐近线平行线，一定会有 ＳＯＡＰＢ＝ｋ为定值，所以我们还能推出以下 性质： 二、双曲线弦与渐近线弦共中点类型 定理３：如左图，作双曲线割线 ＣＤ并交渐近线于 Ａ，Ｂ两点，则 ＡＣ ＝ ＢＤ．我们也给出以下 推论：若 Ｍ是 ＣＤ中点，则一定也是 ＡＢ中点，反之亦然； 　　　　　　 证明：解法一：如右图所示，过点 Ｃ和点 Ｄ分别作渐近线平行线，构成两个平行四边形 ＯＥＣＨ 和 ＯＦＤＧ，ＥＣ与 ＢＤ交于点 Ｎ，根据定理二我们可知 ＳＯＥＣＨ＝ＳＯＦＤＧ＝ ａｂ ２ ，故 ＳＯＦＤＧ ＳＯＥＮＦ ＝ ＢＤ ＢＣ ＝ ＡＣ ＡＤ ＝ ＳＯＥＣＨ ＳＯＥＮＦ ，所以 ＡＣ ＡＤ － ＡＣ ＝ ＢＤ ＢＣ － ＢＤ ，所以 ＡＣ ＝ ＢＤ，所以 ＡＭ ＝ ＢＭ  ＣＭ ＝ ＤＭ ． 解法二：设直线为 ｘ＝ｔｙ＋ｍ，代入双曲线方程 ｂ２ｘ２－ａ２ｙ２＝ａ２ｂ２得：（ｂ２ｔ２－ａ２）ｙ２＋２ｂ２ｔｍｙ＋ ｂ２ｍ２－ａ２ｂ２＝０ 代入双曲线渐近线的退化二次曲线方程 ｂ２ｘ２－ａ２ｙ２＝０得：（ｂ２ｔ２－ａ２）ｙ２＋２ｂ２ｔｍｙ＋ｂ２ｍ２＝０，所 以 ＡＢ中点和 ＣＤ中点重合，所以 ＡＭ ＝ ＢＭ ， ＣＭ ＝ ＤＭ ， ＡＣ ＝ ＢＤ． 定理４：中点弦存在定理 １．在椭圆ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）中，只需要 ＡＢ中点 Ｍ（ｘ０，ｙ０）在椭圆内，即 ｘ２０ ａ２ ＋ ｙ２０ ｂ２ ＜１； ２．在双曲线ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）中，一定有①或 ｘ２０ ａ２ － ｙ２０ ｂ２ ＜０；② ｘ２０ ａ２ － ｙ２０ ｂ２ ＞１． 　　　　 　　　　 椭圆的中点弦存在定理很好理解，关于双曲线，这里存在一个共中点定理，就是弦 ＡＢ与双曲线 渐近线交于 ＣＤ两点，Ｍ（ｘ０，ｙ０）既是 ＡＢ中点，又是 ＣＤ中点。 所以双曲线的中点弦本质来自于渐近线，当直线与双曲线线交于两支时（左图），中点 Ｍ位于两 渐近线之间，此时一定有 ｘ２０ ａ２ － ｙ２０ ｂ２ ＜０，此时