第四章 第四节 中垂线性质推广-【老唐说题】高中数学新思路 圆锥曲线专题

■ １０２　 ■  对于选项 Ｄ：因为 ＰＦ２ － ＰＦ１ ＝２ａ， ＱＦ１ － ＱＦ２ ＝２ａ，所以 ＰＦ１ ＝ ＰＦ２ －２ａ， ＱＦ１ ＝２ａ ＋ ＱＦ２ ，所以 ＰＦ１ ＋ ＱＦ１ ＝ ＰＦ２ －２ａ＋２ａ＋ ＱＦ２ ＝ ＰＦ２ ＋ ＱＦ２ ，因为直线 ｌ的斜率为 ２槡３ ３ 即 ｋＰＱ＝ ２槡３ ３ ，且过点 Ｃ１，槡３( )２ ，所以直线 ｌ的方程为：２ｘ－槡３ｙ－１２＝０，又因为 Ｂ（０，槡３），Ｆ２（２， ０），所以 ｋＢＦ２＝－ 槡３ ２ ，所以 ｋＰＱ·ｋＢＦ２＝ ２槡３ ３ × －槡３( )２ ＝－１，即 ＢＦ２⊥ＰＱ，又因为点 Ｂ到直线 ｌ的距 离：ｄ１＝ ０－槡３×槡３－ １ ２ 槡４＋３ ＝槡７ ２ ，点 Ｆ２到直线 ｌ的距离：ｄ２＝ ２×２－０－１ ２ 槡４＋３ ＝槡７ ２ ，即 ｄ１＝ｄ２，所以 点 Ｂ与点 Ｆ２关于直线 ｌ对称，所以 ＰＢ ＋ ＱＢ ＝ ＰＦ２ ＋ ＱＦ２ ，所以 ＰＦ１ ＋ ＱＦ１ ＝ ＰＢ ＋ ＱＢ，故 Ｄ正确；故选 ＢＣＤ． 接下来我们利用 ＰＦ１ · ＰＦ２ ＝ ＯＰ ２ 来构造等轴双曲线解题． 椭圆 ｘ２ ４ ＋ｙ ２ ２ ＝１的长轴的顶点为 Ａ１、Ａ２，动点 Ｐ在椭圆内，且 ＰＡ１ · ＰＡ２ ＝ ＰＯ ２ ，则ＰＡ１ ! ·ＰＡ２ ! 的取值范围是 ． Ａ１（－２，０），Ａ２（２，０），设 Ｐ（ｘ，ｙ），由 ＰＡ１ · ＰＡ２ ＝ ＰＯ ２可得点 Ｐ的轨迹方程为 ｘ２ －ｙ２＝２，由于ｘ ２ ４ ＋ｙ ２ ２ ＜１，即 ｙ２＜２ ３ ，故ＰＡ!１·ＰＡ２ ! ＝（ｘ＋２）（ｘ－２）＋ｙ２＝ｘ２＋ｙ２－４＝２ｙ２－２∈ －２， －２[ )３ ．故答案为 －２， －２[ )３ ． 在直角坐标系 ｘｏｙ中，⊙Ｏ与直线 ｘ－槡３ｙ＝４相切，与 ｘ轴相交于 Ａ、Ｂ两点，圆内的动点 Ｐ 使 ＰＡ， ＰＯ， ＰＢ成等比数列，则ＰＡ!·ＰＢ!的取值范围是　　　　． 依题设，圆 Ｏ的半径 ｒ等于原点 Ｏ到直线 ｘ－槡３ｙ＝４的距离，即 ｒ＝２，得圆 Ｏ的方程为 ｘ ２＋ ｙ２＝４，不妨设 Ａ（ｘ１，０），Ｂ（ｘ２，０），ｘ１ ＜ｘ２由题意得 Ａ（－２，０），Ｂ（２，０）．设 Ｐ（ｘ，ｙ），由 ＰＡ， ＰＯ， ＰＢ成等比数列，得 （ｘ＋２）２＋ｙ槡 ２· （ｘ－２）２＋ｙ槡 ２ ＝ｘ２＋ｙ２，即 ｘ２－ｙ２＝２，由 Ｐ 在⊙Ｏ内可得 ｘ２＋ｙ２＜４ ｘ２－ｙ２{ ＝２所以０≤ｙ２＜１ 因为ＰＡ!·ＰＢ! ＝（－２－ｘ， －ｙ）·（２－ｘ， －ｙ）＝ｘ２＋ｙ２－４＝２ｙ２－２∈［－２，０） !.#$2q1HIrs 一、关于 ＦＤ ＝ｅ ２ ＡＢ １．设椭圆焦点弦 ＡＢ的中垂线与长轴的交点为 Ｄ，则 ＦＤ ＝ｅ ２ ＡＢ（如左图） !:#$;<=>?@A ■■ １０３　 ■ 　　　　　　 ２．设双曲线焦点弦 ＡＢ的中垂线与焦点所在轴的交点为 Ｄ，则 ＦＤ ＝ｅ ２ ＡＢ（如右图） ３．设抛物线焦点弦ＡＢ的中垂线与对称轴的交点为Ｄ，则 ＦＤ ＝１ ２ ＡＢ（如下图） 证明：１．根据椭圆焦长公式： ＢＦ ＝ ｂ ２ ａ－ｃｃｏｓα ， ＡＦ ＝ ｂ ２ ａ＋ｃｃｏｓα ， ＡＢ ＝ ２ａｂ ２ ａ２－ｃ２ｃｏｓ２α ， ＣＦ ＝ ＡＢ２ － ＡＦ ＝ ＡＦ ＋ ＢＦ２ － ＡＦ ＝ ＢＦ － ＡＦ２ ＝ ｂ２ ａ－ｃｃｏｓα － ｂ ２ ａ＋ｃｃｏｓα ２ ＝ ｂ２ｃｃｏｓα ａ２－ｃ２ｃｏｓ２α ， ＤＦ ＝ ＣＦ ｃｏｓα ＝ ｂ ２ｃ ａ２－ｃ２ｃｏｓ２α ，故 ＤＦ ＡＢ ＝ｂ ２ｃ ２ａｂ２ ＝ｃ ２ａ ＝ｅ ２ ． ２．当直线 ＡＢ与双曲线交于一支时，证明过程同椭圆一致；当直线 ＡＢ与双曲线交于两支时， ＢＦ ＝ ｂ ２ ｃｃｏｓα－ａ ， ＡＦ ＝ ｂ ２ ｃｃｏｓα＋ａ ， ＡＢ ＝ ２ａｂ ２ ｃ２ｃｏｓ２α－ａ２ ， ＣＦ ＝ ｂ ２ｃｃｏｓα ｃ２ｃｏｓ２α－ａ２ ，其余过程与椭圆 一致． ３．抛物线 ｙ２ ＝２ｐｘ（ｐ＞０）焦点弦公式： ＡＦ ＝ ｐ １＋ｃｏｓα ； ＢＦ ＝ ｐ １－ｃｏｓα ； ＡＢ ＝ ２ｐ ｓｉｎ２α ． ＣＦ ＝ ＡＢ２ － ＡＦ ＝ ＡＦ ＋ ＢＦ２ － ＡＦ ＝ ＢＦ － ＡＦ２ ＝ ｐｃｏｓα ｓｉｎ２α ， ＤＦ ＝ ＣＦ ｃｏｓα ＝ ｐ ｓｉｎ２α ， 故 ＤＦ ＡＢ ＝１ ２ ． 如果是直接问 ＤＦ与 ＡＢ之间的长度关系，那属于之前相对简单的考题，本文论述一下在这个 结论下隐藏的命题逻辑． 关于焦点弦和中垂线比值问题：求焦点弦所在的直线方程，中垂线被长轴（对称轴）分成两段， 解决口诀：截距两边分，乘除各一边！ 二、中垂线几何性质之正向相加型 ■ １０４　 ■  如图：ＡＢ为过椭圆ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（