第四章 第一节 抛物线弦点性质-【老唐说题】高中数学新思路 圆锥曲线专题

■ ８８　 ■  ４!　 EFGHIJK 0.*=L.M.M>.<.>D)+N.*+ 　　大题靠套路，小题靠结论，一些常见的结论积累是圆锥曲线学习的必备，本章我们从抛物线特 殊性质开始，再到辅助的大圆小圆，常见的 ＰＦ１ · ＰＦ２ 相关的结论，焦弦中垂线，双曲线和渐近 线面积，以及常见的截口曲线来探索圆锥曲线隐藏的结论，以达到事半功倍的学习效果． !"#$/01f?HI 一、抛物线的焦点弦性质 如图，已知 ＡＢ是过抛物线 ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）焦点 Ｆ的弦，Ｍ是 ＡＢ的中点，ｌ是 ! 物线的准线， ＭＮ⊥ｌ，Ｎ为垂足．其中Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）． １．以 ＡＢ为直径的圆必与准线 ｌ相切 ２．ｘ１ｘ２＝ ｐ２ ４ ，ｙ１ｙ２＝－ｐ ２ （重点） ３．ＦＮ⊥ＡＢ，ＦＣ⊥ＦＤ ４．设 ＢＤ⊥ｌ，Ｄ为垂足，则 Ａ、Ｏ、Ｄ三点在一条直线上 证明：１．过 Ａ作 ＡＣ垂直 ｌ，Ｃ为垂足． ＦＡ ＝ ＡＣ， ＦＢ ＝ ＢＤ，在梯形 ＡＢＣＤ中， ＭＮ ＝１ ２ （ＡＣ ＋ ＢＤ）＝１ ２ （ＡＦ ＋ ＢＦ）＝１ ２ ＡＢ，∠ＡＮＢ＝９０°，故以 ＡＢ为直径的圆与准线 ｌ 相切． ２．设直线 ＡＢ的方程为 ｘ＝ｔｙ＋ｐ ２ 与 ! 物线 ｙ２＝２ｐｘ联立得：ｙ２＝２ｐｔｙ＋ｐ( )２ ，即 ｙ２－２ｐｔｙ－ｐ２＝ ０，故 ｙ１ｙ２＝－ｐ ２ ，ｘ１ｘ２＝ ｙ２１ ２ｐ ｙ２２ ２ｐ ＝ｐ ２ ４ ． ３．在△ＡＣＮ与△ＡＦＮ中， ＡＮ ＝ ＡＮ， ＡＣ ＝ ＡＦ；在 Ｒｔ△ＡＢＮ中，∠ＮＡＭ＝∠ＡＮＭ，又 ∠ＣＡＮ＝∠ＡＮＭ，则△ＡＣＮ≌△ＡＦＮ，所以∠ＡＦＮ＝∠ＡＣＮ＝９０°，ＦＮ⊥ＡＢ 因为ＤＦ! ＝（ｐ， －ｙ２），ＣＦ ! ＝（ｐ， －ｙ１），所以ＤＦ ! ·ＣＦ! ＝ｐ２＋ｙ１ｙ２＝０，所以 ＦＣ⊥ＦＤ． ４．ｋＯＡ＝ ｙ１ ｘ１ ＝ ｙ１ ｙ２１ ２ｐ ＝２ｐ ｙ１ ，ｋＯＤ＝ ｙ２ －ｐ ２ ＝－ ２ｙ２ ｐ ＝－ ２ｐｙ２ ｐ２ ＝ ２ｐｙ２ ｙ１ｙ２ ＝２ｐ ｙ１ ，则 Ａ、Ｏ、Ｄ三点共线，同理 Ｂ、 !:#$;<=>?@A ■■ ８９　 ■ Ｏ、Ｃ三点共线． ５．已知抛物线 ｙ２＝２ｐｘ的焦点为 Ｆ，其准线与 ｘ轴的交点为 Ｎ，过点 Ｆ作直线与此 ! 物线交于 Ａ、Ｂ两点，若ＮＢ!·ＡＢ! ＝０，则有： ＡＦ － ＢＦ ＝２ｐ．如图 证明：解法一：联立（参考 ２式）可得： ｘＡｘＢ＝ ｐ２ ４ ｙＡｙＢ＝－ｐ { ２， ＡＦ － ＢＦ ＝ｘＡ－ｘＢ，又ＮＢ! ·ＦＡ! ＝ ｘＢ＋ ｐ ２ ，ｙ( )Ｂ · ｘＡ－ｐ２，ｙ( )Ａ ＝ｘＡｘＢ＋ｐ２（ｘＡ－ｘＢ）－ｐ ２ ４ ＋ｙＡｙＢ＝０，整理得：ｘＡ－ｘＢ＝２ｐ． 解法二：设直线 ＡＢ的倾斜角为 α，根据本章第一讲的焦长公式（考试自行推导）得： ＡＦ ＝ ｐ １－ｃｏｓα ， ＢＦ ＝ ｐ １＋ｃｏｓα ，故 ＡＦ － ＢＦ ＝２ｐ·ｃｏｓα ｓｉｎ２α ，又 ＢＦ ＝ ＮＦｃｏｓα＝ｐｃｏｓα＝ ｐ１＋ｃｏｓα ，即 ｃｏｓα ｓｉｎ２α ＝１，故 ＡＦ － ＢＦ ＝２ｐ·ｃｏｓα ｓｉｎ２α ＝２ｐ． （２０２２·乙卷）设 Ｆ为 ! 物线 Ｃ：ｙ２＝４ｘ的焦点，点 Ａ在 Ｃ上，点Ｂ（３，０），若 ＡＦ ＝ ＢＦ， 则 ＡＢ ＝ （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．２ Ｂ．２槡２ Ｃ．３ Ｄ．３槡２ Ｆ为抛物线 Ｃ：ｙ２＝４ｘ的焦点（１，０），点 Ａ在 Ｃ上，点 Ｂ（３，０）， ＡＦ ＝ ＢＦ ＝２，由抛物 线的定义可知 Ａ（１，２）（不妨设 Ａ在第一象限），所以 ＡＢ ＝ （３－１）２＋（－２）槡 ２ ＝２槡２．故选 Ｂ． （２０２０·北京）设抛物线的顶点为 Ｏ，焦点为 Ｆ，准线为 ｌ．Ｐ是抛物线上异于 Ｏ的一点，过 Ｐ 作 ＰＱ⊥ｌ于 Ｑ，则线段 ＦＱ的垂直平分线 （　　） Ａ．经过点 Ｏ Ｂ．经过点 Ｐ Ｃ．平行于直线 ＯＰ Ｄ．垂直于直线 ＯＰ 解法一：不妨设抛物线的方程为 ｙ２＝４ｘ，则 Ｆ（１，０），准线 ｌ为 ｘ＝－１，不妨设 Ｐ（１，２）， 则 Ｑ（－１，２），设准线 ｌ与 ｘ轴交点为 Ａ，则 Ａ（－１，０），可得四边形 ＱＡＦＰ为正方形，根据正方形 的对角线互相垂直，故可得线段 ＦＱ的垂直平分线经过点 Ｐ， 解法二：由抛物线的定义知， ＰＦ ＝ ＰＱ，所以△ＰＱＦ为等腰三角形，且 ＦＱ为等腰三角形 ＰＱＦ 的底边，所以线段 ＦＱ的垂直平分线经过点 Ｐ．故选 Ｂ． （２０２２·多选·新高考Ⅰ）已知 Ｏ为坐标原点，点 Ａ（１，１）在抛物线 Ｃ：ｘ２＝２ｐｙ（ｐ＞０）上，过 点 Ｂ（０， －１）的直线交 Ｃ于 Ｐ，Ｑ两点，则 （　　） Ａ．Ｃ的准线为 ｙ＝－１ Ｂ．直线 ＡＢ与 Ｃ相切 Ｃ． ＯＰ·