第二章 第二节 光学性质法，散尽繁花-【老唐说题】高中数学新思路 圆锥曲线专题

■ ３４　 ■  当 θ＝９０°，１ ｅ２１ ＋１ ｅ２２ ＝２，由 ｅ２１＋ｅ ２ ２＝ １ ２ （ｅ２１＋ｅ ２ ２） １ ｅ２１ ＋１ ｅ２( )２ ≥２，即 ｅ２１＋ｅ２２≥２（当且仅当 ｅ１＝ｅ２＝１时等 号成立）等号不成立，故 Ｃ错误； 由 Ｓ△ＰＦ１Ｆ２＝ｂ ２ｔａｎθ ２ ＝ ｎ ２ ｔａｎθ ２ ，则ｔａｎ２ θ ２ ＝ｎ ２ ｂ２ ，即 ｔａｎθ ２ ＝ｎ ｂ ，故 Ｄ正确．故选 ＡＢＤ． !,#$FGHIJ) KLMD 一、光学性质概念 椭圆的光学性质：从一个焦点发出的光线照射到椭圆上其反射光线会经过另一个焦点． 双曲线有一个光学性质：从一个焦点发出的光线照射到双曲线上其反射光线的反向延长线会经 过另一个焦点． 抛物线有一个光学性质：从焦点发出的光线照射到抛物线上其反射光线平行于抛物线对称轴． 二、光学性质切线法线定理 定理１：点 Ｐ为椭圆上任一点，Ｆ１、Ｆ２为椭圆的两焦点，则椭圆在 Ｐ点处的切线与∠Ｆ１ＰＦ２的 平分线垂直． 由于本题证明方法很多，如果是解决小题，我们按照小题小做来解读，根据物理学的反射原理， 反射光线等于入射光线，即把椭圆上的点 Ｐ处切线看成镜面，那么法线就是∠Ｆ１ＰＦ２的平分线，所 以它们垂直就自然而然了，同理也能推导双曲线． 推论１：设椭圆ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的两焦点为 Ｆ１，Ｆ２，Ｐ（ｘ０，ｙ０）（ｘ０，ｙ０≠０）为椭圆上一 点，则∠Ｆ１ＰＦ２的角平分线所在直线 ｌ的方程为 ａ ２ｙ０ｘ－ｂ ２ｘ０ｙ－（ａ ２－ｂ２）ｘ０ｙ０＝０． 根据光学性质可知 Ｐ（ｘ０，ｙ０）处切线方程为 ｘｘ０ ａ２ ＋ ｙｙ０ ｂ２ ＝１，由于 Ｐ点处的切线与∠Ｆ１ＰＦ２的平分线 垂直，故∠Ｆ１ＰＦ２的角平分线所在直线 ｌ的方程为 ｙ－ｙ０＝ ａ２ｙ０ ｂ２ｘ０ （ｘ－ｘ０），即 ａ ２ｙ０ｘ－ｂ ２ｘ０ｙ－（ａ ２－ｂ２） ｘ０ｙ０＝０． 已知点 Ｐ为椭圆上任一点，Ｆ１、Ｆ２为椭圆的两焦点，求证椭圆在 Ｐ点处的切线与∠Ｆ１ＰＦ２的 平分线垂直． !,#$%&'(-.)/01234 ■■ ３５　 ■ 证明：设椭圆方程为 ｘ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０），椭圆上一点 Ｐ（ｘ０，ｙ０）、Ｆ１（－ｃ，０）、Ｆ２（ｃ，０）． 因为椭圆在 Ｐ点处的切线力程为 ｘ０ｘ ａ２ ＋ ｙ０ｙ ｂ２ ＝１（请自证），其斜率为 －ｂ ２ ａ２ · ｘ０ ｙ０ ，则切线的垂线 ＰＱ的斜 率 ｋＰＱ＝ ａ２ ｂ２ · ｙ０ ｘ０ ， 解法一（夹角公式）：ｋＰＦ１ ＝ ｙ０ ｘ０＋ｃ ，ｋＰＦ２ ＝ ｙ０ ｘ０－ｃ ，由夹角公式可得：ｔａｎ∠Ｆ１ＰＱ＝ ｙ０ ｘ０＋ｃ － ａ２ｙ０ ｂ２ｘ０ １＋ ｙ０ ｘ０＋ｃ · ａ２ｙ０ ｂ２ｘ０ ＝ （ｂ２－ａ２）ｘ０ｙ０－ａ ２ｃ０ ａ２ｂ２＋ｂ２ｃｘ０ ＝ －ｃｙ０（ｃｘ０＋ａ ２ ） ｂ２（ａ２＋ｃｘ０） ＝ ｃｙ０ ｂ２ ． ｔａｎ∠Ｆ２ＰＱ＝ ｙ０ ｘ０－ｃ － ａ２ｙ０ ｂ２ｘ０ １＋ ｙ０ ｘ０－ｃ · ａ２ｙ０ ｂ２ｘ０ ＝ （ｂ２－ａ２）ｘ０ｙ０＋ａ ２ｃ０ ａ２ｂ２－ｂ２ｃｘ０ ＝ －ｃｙ０（ｃｘ０－ａ ２ ） ｂ２（ａ２－ｃｘ０） ＝ ｃｙ０ ｂ２ ． 即有 ｔａｎ∠Ｆ１ＰＱ＝ｔａｎ∠Ｆ２ＰＱ，知直线 ＰＱ是∠Ｆ１ＰＦ２的平分线． 解法二（焦半径公式）：易求得 ＰＱ方程为 ｙ－ｙ０＝ ａ２ ｂ２ · ｙ０ ｘ０ （ｘ－ｘ０），当 ｙ＝０时，ｘＱ＝ ｃ２ｘ０ ａ２ ，根据焦半 径公式 ＰＦ１ ＝ａ＋ｅｘ０， ＰＦ２ ＝ａ－ｅｘ０， ＰＦ１ ＰＦ２ ＝ ａ＋ｅｘ０ ａ－ｅｘ０ ＝ ａ２＋ｃｘ０ ａ２－ｃｘ０ ， Ｆ１Ｑ Ｆ２Ｑ ＝ ｃ２ｘ０ ａ２ ＋ｃ ｃ－ ｃ２ｘ０ ａ２ ＝ ａ２＋ｃｘ０ ａ２－ｃｘ０ ，所以 ＰＦ１ ＰＦ２ ＝ Ｆ１Ｑ Ｆ２Ｑ ，故根据角平分线判定定理可得直线 ＰＱ是∠Ｆ１ＰＦ２的平分线． 定理２：点 Ｐ为双曲线上任一点．Ｆ１、Ｆ２为双曲线的两焦点，则双曲线在 Ｐ点处的切线与 ∠Ｆ１ＰＦ２的平分线重合． 推论２：设双曲线ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝±１（ａ＞０，ｂ＞０）的两焦点为 Ｆ１，Ｆ２，Ｐ（ｘ０，ｙ０）（ｘ０，ｙ０≠０）为双曲 线上一点，则∠Ｆ１ＰＦ２的角平分线所在直线 ｌ的方程为 ｂ ２ｘ０ｘ－ａ ２ｙ０ｙ＝±ａ ２ｂ２． 已知点 Ｐ为双曲线上任一点，Ｆ１、Ｆ２为椭圆的两焦点，求证双曲线在 Ｐ点处的切线与 ∠Ｆ１ＰＦ２的平分线重合． 证明：设双曲线方程为 ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０），双曲线上一点 Ｐ（ｘ０，ｙ０）、Ｆ１（－ｃ，０）、 Ｆ２（ｃ，０）．因为双曲线在 Ｐ点处的切线力程为 ｘ０ｘ ａ２ － ｙ０ｙ ｂ２ ＝１（请自证），其斜率为ｂ ２ ａ２ · ｘ０