第一章 第五节 最值问题，东成西就-【老唐说题】高中数学新思路 圆锥曲线专题

■ ２０　 ■  因为四边形ＡＢＯＦ为等腰梯形，所以 ＯＢ ＝ ＡＦ，∠ＦＯＢ＝∠ＯＦＡ，所以∠ＤＯＢ＝∠ＥＦＡ，又∠ＢＤＯ ＝∠ＡＥＦ＝９０°，所以△ＢＤＯ≌△ＡＥＦ，所以 ＯＤ ＝ ＦＥ ＝ｐ２ ，所以 ＤＥ ＝ ＤＯ ＋ ＯＦ ＋ ＦＥ ＝ ３ｐ ２ ，所以 ＡＢ ＝ ＤＥ ＝３ｐ ２ ，由抛物线的定义可得： ＡＦ ＝ ＡＢ ＝３ｐ ２ ，在直角三角形 ＡＥＦ中， ＡＦ ＝３ｐ ２ ， ＥＦ ＝ｐ ２ ， ＡＥ ＝ｙＡ＝２槡２，由勾股定理可得： ｐ( )２ ２ ＋（２槡２） ２ ＝ ３ｐ( )２ ２ ，解得 ｐ＝２．故 选 Ｃ． （２０２３·安康二模）设抛物线 Ｃ：ｘ２＝２ｐｙ（ｐ＞０）的焦点是 Ｆ，直线 ｌ与抛物线 Ｃ相交于 Ａ，Ｂ两 点，且∠ＡＦＢ＝３π４ ，过弦 ＡＢ的中点 Ｐ作 ｙ＝－ｐ ２ 的垂线，垂足为 Ｑ，则 ＡＢ( )ＰＱ ２ 的最小值为 （　　） Ａ．２＋槡２ Ｂ．３ Ｃ． ２＋槡２ ４ Ｄ．２－槡２ 设 ＡＦ ＝ｍ， ＢＦ ＝ｎ，过点 Ａ，Ｂ分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为 Ａ１，Ｂ１，则 ＡＡ１ ＝ｍ， ＢＢ１ ＝ｎ．因为点 Ｐ为弦 ＡＢ的中点，根据梯形中位线定理可得，Ｐ到抛物线 Ｃ的准线 ｙ＝－ｐ ２ 的距离为 ＰＱ ＝ｍ＋ｎ ２ ，因为∠ＡＦＢ＝３π４ ，所以在△ＡＦＢ中，由余弦定理得 ＡＢ ２＝ｍ２＋ｎ２－ ２ｍｎ· ｃｏｓ３π ４ ＝ｍ２ ＋ｎ２ ＋槡２ｍｎ，所 以 ＡＢ( )ＰＱ ２ ＝４（ｍ ２＋ｎ２＋槡２ｍｎ） （ｍ＋ｎ）２ ＝４１－（２－槡２）ｍｎ （ｍ＋ｎ）[ ]２ ＝ ４１－ ２－槡２ ｍ ｎ ＋ｎ ｍ         ＋２ ≥４ １－ ２－槡２ ２ ｍ ｎ ×ｎ 槡 ｍ         ＋２ ＝２＋槡２，当且仅当 ｍ＝ｎ时取等号．所以 ＡＢ( )ＰＱ ２ 的最小 值为２＋槡２．故选 Ａ． !5#$6789) :;<= 一、椭圆最值问题 １．若 Ｑ在椭圆外，求 ＰＱ － ＰＦ１ 最小值，则构造 ＰＱ ＋２ａ－ ＰＦ１ －２ａ＝ ＰＱ ＋ ＰＦ２ － ２ａ，利用三点共线求最值（如左图所示），当且仅当 Ｐ、Ｑ、Ｆ２三点共线时等号成立．此类型的题目 叫做声东击西，即问左焦点，则连接右焦点，问右焦点则连左焦点，三点共线是关键． !"#$%&'()*+ ■■ ２１　 ■ ２．若 Ｑ为椭圆外一定点（如右图所示），则 ＱＦ１ ≤ ＰＱ ＋ ＰＦ１ ≤２ａ＋ ＱＦ２ ，当且仅当 Ｐ１、 Ｆ１、Ｑ三点共线时，左边等号成立，当且仅当 Ｑ、Ｆ２、Ｐ２三点共线时（Ｐ２位于 ＱＦ２延长线上），等号 成立． ３．若 Ｑ为椭圆内一定点（如下图所示），则２ａ－ ＱＦ２ ≤ ＰＱ ＋ ＰＦ１ ≤２ａ＋ ＱＦ２ ，当且仅当 Ｐ１、Ｑ、Ｆ２三点共线时，左边等号成立，当且仅当 Ｐ２、Ｆ２、Ｑ三点共线时（Ｐ２位于 ＱＦ２延长线上）， 右边等号成立． 二、双曲线最值问题 求 ＰＱ ＋ ＰＦ１ 最值，则构造 ＰＱ ＋２ａ＋ ＰＦ１ －２ａ＝ ＰＱ ＋ ＰＦ２ ＋２ａ，当且仅当 Ｐ、Ｑ、Ｆ２ 三点共线时等号成立．（如下图所示）． 注意：由于椭圆和双曲线的第二定义已经不在高考范围内，形如“ＰＭ ＋１ ｅ ＰＦ”的最值已经 不是考试的常考范围，关于问焦点则连接准线的类型题目只适合抛物线，这里不做详述．其它双曲 线最值类比椭圆，画图仔细分析即可． 三、抛物线最值问题 根据两点之间线段最短定理，可以知道 Ｐ为抛物线上一点： （１）当 Ｑ ｘＱ，ｙ( )Ｑ 为抛物线内任意一点，则存在 ＰＦ ＋ ＰＱ 的最小值，当 Ｐ、Ｑ两点的纵坐标 相等时，即 ＰＦ ＋ ＰＱ ｍｉｎ＝ ＥＱ ＝ｘＱ＋ ｐ ２ （参考下图，内部连准线） （２）当 Ｑ（ｘＱ，ｙＱ）为抛物线外任意一点，存在 ｄ＋ ＰＱ 最小值，当 Ｑ、Ｐ、Ｆ三点共线时， ■ ２２　 ■  ｄ＋( )ＰＱ ｍｉｎ＝ ＦＱ ＝ ｘＱ－ ｐ( )２ ２ ＋ｙＱ槡 ２ （参考下图，外部连焦点） 由此类比抛物线 ｘ２＝２ｐｙ的最值问题，把握内连准线，外找焦点． （２０２２·石家庄期末）已知Ｆ是椭圆 Ｃ：ｘ ２ １６ ＋ｙ ２ １５ ＝１的左焦点，Ｐ为椭圆Ｃ上任意一点，点Ｑ坐 标为（４，４），则 ＰＱ ＋ ＰＦ的最大值为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．槡４１ Ｂ．１３ Ｃ．３ Ｄ．５ 因为点 Ｆ为椭圆ｘ ２ １６ ＋ｙ ２ １５ ＝１的左焦点，所以 Ｆ（－１，０），因为点 Ｐ为椭圆 Ｃ上任意一点，点 Ｑ的坐标为（４，４），设椭圆 Ｃ的右焦点为Ｆ′（１，０），所以 ＰＱ ＋ ＰＦ ＝ ＰＱ ＋８－ ＰＦ′＝８＋ ＰＱ － ＰＦ′，因为 ＰＱ － ＰＦ′≤ ＱＦ′＝ （４－１）２＋（４－０）槡 ２ ＝５，所以