第一章 第三节 椭圆双曲，第三定义-【老唐说题】高中数学新思路 圆锥曲线专题

!"#$%&'()*+ ■■ １５　 ■ 解法二：（椭圆第二定义 ＋焦长公式）设 Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），则 ＡＦ１ ＝ａ＋ｅｘ１， ＢＦ１ ＝ａ＋ｅｘ２， 设 α＝∠ＡＦ２ｘ， ＡＦ２ ＝ ｂ２ ａ＋ｃｃｏｓα ＝ａ－ｅｘ１， ＢＦ２ ＝ ｂ２ ａ－ｃｃｏｓα ＝ａ－ｅｘ２①，根据比例性质可得： Ｆ１Ｎ Ｆ１Ｂ ＝ ｃ ｘ２＋ｃ ， Ｆ１Ｍ Ｆ１Ａ ＝ ｃ ｘ１＋ｃ ②， Ｓ△Ｆ１ＡＢ＝Ｓ△Ｆ１ＭＮ １ ２ ＡＦ１ · ＢＦ１ ｓｉｎ∠ＡＦ１Ｂ＝ １ ２ ＭＦ１ · ＮＦ１ ｓｉｎ∠ＡＦ１Ｂ，即 ＡＦ１ · ＢＦ１ ＝ ＭＦ１ · ＮＦ１ ， Ｆ１Ｍ Ｆ１Ａ · Ｆ１Ｎ Ｆ１Ｂ ＝ ｃ ｘ１＋ｃ · ｃ ｘ２＋ｃ ＝１，代入数据得：１ ｘ１ ＋１ ｘ２ ＝－１ ２③ ， 将③代入①可得：２ １ ｘ１ ＋１ ｘ( )２ ＝槡２＋ｃｏｓα槡２＋２ｃｏｓα＋ 槡２－ｃｏｓα 槡２－２ｃｏｓα ＝－１，所以ｃｏｓ２α＝３４ ，所以存在直线 ｘ＋槡３ｙ －２＝０或 ｘ－槡３ｙ－２＝０满足题意． !-#$%&'() !-*+ 一、椭圆第三定义关于“积” 第三定义通常作为性质来考查使用，故我们以介绍性质为主． 已知关于原点对称的两个定点，那么到这两定点连线的斜率之积为定值 －ｂ ２ ａ２ 或 ｅ２－１（０＜ｅ＜１） 的点的轨迹是椭圆，通常这两个定点分别为长轴或者短轴顶点． 另一方面，设 Ｍ（ｘ，ｙ）是椭圆上任意一点，两个定点为 Ａ１（ｘ１，ｙ１）、Ａ２（－ｘ１， －ｙ１），常数 ｅ＝ ｃ ａ ，ｋＭＡ１·ｋＭＡ２＝ ｙ－ｙ１ ｘ－ｘ１ · ｙ＋ｙ１ ｘ＋ｘ１ ＝ ｙ２－ｙ２１ ｘ２－ｘ２１ ，根据椭圆方程，将 ｘ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１ａ＞ｂ( )＞０变形成 ｙ２＝ｂ２－ｂ ２ｘ２ ａ２ ， 所以 ｋＭＡ１·ｋＭＡ２＝－ ｂ２ ａ２ ，椭圆上动点到关于原点对称的两个定点的连线的斜率之积等于常数． 注意：本结论也可以用点差法证明，会在后面章节详细说明． 二、双曲线第三定义之“积” 到关于原点对称的两个定点连线的斜率之积为定值 ｂ２ ａ２ 或 ｅ２－１（ｅ＞１）的点的轨迹是双曲线；通常 定点为实轴或虚轴顶点，定值为正值． 另一方面，设 Ｍ（ｘ，ｙ）是双曲线上任意一点，两个定点为 Ａ１（ｘ１，ｙ１）、Ａ２（－ｘ１， －ｙ１），常数 ｅ ＝ｃ ａ ，ｋＭＡ１·ｋＭＡ２＝ ｙ－ｙ１ ｘ－ｘ１ · ｙ＋ｙ１ ｘ＋ｘ１ ＝ ｙ２－ｙ２１ ｘ２－ｘ２１ ，根据双曲线方程：将 ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１ａ，ｂ( )＞０，变形成 ｙ２＝ ｂ２ｘ２ ａ２ －ｂ２，所以 ｋＭＡ１·ｋＭＡ２ ＝ ｂ２ ａ２ ，双曲线上动点到关于原点对称的两个定点的连线的斜率之积等于 ■ １６　 ■  常数． （２０２２·甲卷）椭圆 Ｃ：ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）的左顶点为 Ａ，点 Ｐ，Ｑ均在 Ｃ上，且关于 ｙ轴对 称．若直线 ＡＰ，ＡＱ的斜率之积为１ ４ ，则 Ｃ的离心率为 （　　） Ａ．槡３ ２ Ｂ．槡２ ２ Ｃ．１ ２ Ｄ．１ ３ 已知 Ａ（－ａ，０），设 Ｐ（ｘ０，ｙ０），则 Ｑ（－ｘ０，ｙ０），ｋＡＰ＝ ｙ０ ｘ０＋ａ ，ｋＡＱ＝ ｙ０ ａ－ｘ０ ，故 ｋＡＰ·ｋＡＱ＝ ｙ０ ｘ０＋ａ · ｙ０ ａ－ｘ０ ＝ ｙ２０ ａ２－ｘ２０ ＝１ ４① ，因为 ｘ２０ ａ２ ＋ ｙ２０ ｂ２ ＝１，即 ｙ２０＝ ｂ２（ａ２－ｘ２０） ａ２ ②，②代入①整理得：ｂ ２ ａ２ ＝１ ４ ，ｅ ＝ｃ ａ ＝ １－ｂ ２ ａ槡 ２ ＝槡３ ２ ．故选 Ａ． （２０２２·河北模拟）已知椭圆 Ｃ：ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）的离心率为１ ２ ，点 Ａ，Ｂ是椭圆 Ｃ的长轴 顶点，直线 ｘ＝ｍ（－ａ＜ｍ＜ａ）与椭圆 Ｃ交于 Ｐ，Ｑ两点，记 ｋ１，ｋ２分别为直线 ＡＰ和直线 ＢＱ 的斜率，则 ｋ１＋４ｋ２ 的最小值为 （　　） Ａ．３ ４ Ｂ．槡３ Ｃ．２槡３ Ｄ．４槡２ 不妨设 Ｐ（ｍ，ｙ０），Ｑ（ｍ， －ｙ０）， ｍ２ ａ２ ＋ ｙ２０ ｂ２ ＝１，则 ｋ１＝ ｙ０ ｍ＋ａ ，ｋ２＝ －ｙ０ ｍ－ａ ，ｋ１ｋ２＝ －ｙ２０ ｍ２－ａ２ ＝ｂ ２ ａ２ ＝ａ ２－ｃ２ ａ２ ＝１－ｅ２＝３ ４ ，故 ｋ１＋４ｋ２ ≥２ ４ｋ１ｋ槡 ２ ＝２槡３．当且仅当 ｋ１＝４ｋ２时，取等号．故选 Ｃ． （２０２２·武汉模拟）已知点 Ｐ在椭圆 Ｔ：ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）上，点 Ｐ在第一象限，点 Ｐ关于 原点 Ｏ的对称点为 Ａ，点 Ｐ关于 ｘ轴的对称点为 Ｑ，设ＰＤ! ＝３ ４ ＰＱ!，直线 ＡＤ与椭圆 Ｔ的另一 个交点为 Ｂ，若 ＰＡ⊥ＰＢ，则椭圆 Ｔ的离心率 ｅ＝ （　　） Ａ．１ ２ Ｂ．槡２ ２ Ｃ．槡３