专题8 排列与组合-【老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列3

■■ ７１　 ■ ８Q"7RS T.*)*+=(U('+ !"$,Z 一般地，从ｎ个不同元素中取出 ｍ（ｍ≤ｎ） 个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从 ｎ 个不同元素中取出ｍ个元素的一个排列． +"$‘’,“ˆ 两个排列相同的充要条件：（１）两个排列的 元素完全相同．（２）元素的排列顺序也相同． 判断下列问题是否为排列问题： （１）北京、上海、天津三个民航站之间的 直达航线的飞机票的价格（假设来回的票 价相同）； （２）选２个小组分别去植树和种菜； （３）选２个小组去种菜； （４）选１０人组成一个学习小组； （５）选３个人分别担任班长、学习委员、 生活委员； （６）某班４０名学生在假期相互打电话． （１）票价只有三种，虽然机票是不同的， 但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排 列问题． （２）植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于 排列问题． （３）（４）不存在顺序问题，不属于排列问题． （５）每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习 委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． （６）Ａ给Ｂ打电话与 Ｂ给 Ａ打电话是不同的，所 以存在着顺序问题，属于排列问题． 所以在上述各题中（２）（５）（６）是排列问题，（１） （３）（４）不是排列问题． /"$#,Z 从ｎ个不同元素中取出 ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的 所有不同排列的个数，叫做从ｎ个不同元素中取 出ｍ个元素的排列数，用符号Ａｍｎ表示． 4"$#23%”$ １．排列数公式的两种形式 （１）Ａｍｎ＝ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）…（ｎ－ｍ＋１），其中 ｍ，ｎ∈Ｎ，并且ｍ≤ｎ． （２）Ａｍｎ＝ ｎ！ （ｎ－ｍ）！． ２．全排列：把ｎ个不同的元素全部取出的一个 排列，叫做 ｎ个元素的一个全排列，全排列 数为 Ａｎｎ＝ｎ！（叫做 ｎ的阶乘）．规定：０！ ＝１． （２０２３·泰州期末）６×７×８×９×１０可以 表示为 （　　） 　 　　　 　 　　　　　　Ａ．Ａ４１０ Ｂ．Ａ ５ １０ Ｃ．Ｃ４１０ Ｄ．Ｃ ５ １０ ６×７×８×９×１０为排列数，可以表示为 Ａ５１０，故选Ｂ． （２０２３·莱州市开学）已知３Ａｘ８＝４Ａ ｘ－１ ９ ，则 ｘ等于 （　　） Ａ．６ Ｂ．１３ Ｃ．６或１３ Ｄ．                                １２ ■ ７２　 ■  因为３Ａｘ８＝４Ａ ｘ－１ ９ ，所以３× ８！ （８－ｘ）！＝４× ９！ （１０－ｘ）！，化简得ｘ ２－１９ｘ＋７８＝０，由题意得 ｘ ≤８，解得ｘ＝６．故选Ａ． （２０２３·浑南区期末）Ｍ＝Ａ１２＋２Ａ ２ ２＋３Ａ ３ ３＋ …＋２０２２Ａ２０２２２０２２，Ｎ＝Ａ ２０２３ ２０２３，则 Ｍ与 Ｎ的大 小关系是 （　　） Ａ．Ｍ＝Ｎ Ｂ．Ｍ＞Ｎ Ｃ．Ｍ＜Ｎ Ｄ．Ｍ≥Ｎ 因为ｎＡｎｎ＝（ｎ＋１）！ －ｎ！，所以 Ｍ＝２＋ ３！－２！＋４！ －３！ ＋… ＋２０２３！ －２０２２！ ＝２ ＋２０２３！－２！＝２０２３！＝Ａ２０２３２０２３＝Ｎ．故选Ａ． 8"•‘–—6•˜‘–—>? 相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法． ３名男生，４名女生，这７个人站成一排 在下列情况下，各有多少种不同的站法？ （１）男、女各站在一起； （２）男生必须排在一起； （３）男生不能排在一起； （４）男生互不相邻，且女生也互不相邻． （１）（相邻问题捆绑法）男生必须站在一 起，即把３名男生进行全排列，有Ａ３３种排法， 女生必须站一起，即把４名女生进行全排列，有 Ａ４４种排法，全体男生、女生各看作一个元素全 排列有Ａ２２种排法，由分步乘法计数原理知，共 有Ａ３３·Ａ ４ ４·Ａ ２ ２＝２８８（种）排法． （２）（捆绑法）把所有男生看作一个元素，与４名 女生组成 ５个元素全排列，故有 Ａ３３·Ａ ５ ５＝７２０ （种）不同的排法． （３）（不相邻问题插空法）先排女生有 Ａ４４种排法， 把３名男生安排在４名女生隔成的五个空中，有 Ａ３５种排法，故有 Ａ ４ ４·Ａ ３ ５ ＝１４４０（种）不同的 排法． （４）先排男生有 Ａ３３种排法，让女生插空，有 Ａ３３Ａ ４ ４＝１４４（种）不同的排法． （２０２３·香坊区期末）加工某种产品需要５ 道工序，分别为 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，其中 工序Ａ，Ｂ必须相邻，工序 Ｃ，Ｄ不能相 邻，那么有（　　）种加工方法． Ａ．２４ Ｂ．３２ Ｃ．４８ Ｄ．６４ 根据题意，分２步进行分析：①将 ＡＢ看 成一个整体，与Ｅ全排列，有Ａ２２Ａ ２ ２＝４种排法， ②排好后，有３个空位，将 ＣＤ安排在空位中， 有Ａ２３＝６种排法，则有 ４×６＝２４种加工方法， 故选Ａ． （２０２３·沈阳模拟）甲、乙、丙、丁、戊、 己６人站成一排拍合照，要求甲必须