专题25 探路法(下) 同步训练-【老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列3

■ ７０　 ■  !" ２５ # p„8vyx ! ?"#$%? ! 　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　１．（２０２３·北仑区开学）已知函数 ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ－ｍ · ｘ－１ ｘ＋１（ｍ∈Ｒ）． （１）当ｍ＝１时，判断函数 ｆ（ｘ）的单调性； （２）当 ｘ＞１时，ｆ（ｘ）＞０恒成立，求实数 ｍ 的取值范围． ２．（２０２３·丰城市模拟）已知函数 ｆ（ｘ）＝ｅｘ＋ｘ ３ ２ －ｘ２－２ａｘ（ａ∈Ｒ）． （１）设函数ｍ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋２ａｘｘ ，判断 ｍ（ｘ）的 单调性； （２）若当ｘ≥０时，关于ｘ的不等式 ｆ（ｘ）≥ｘ ３ ２ ＋ｃｏｓｘ恒成立，求ａ的取值范围． ３．（２０２３·道里区一模）已知函数 ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ－ ａｘ２＋ｘ＋１． （１）当 ａ＝０时，求函数 ｇ（ｘ）＝ｘｅｘ－ｆ（ｘ）的 最小值； （２）当ｙ＝ｆ（ｘ）的图象在点（１，ｆ（１））处的切 线方程为ｙ＝１时，求ａ的值，并证明： 当ｎ∈Ｎ时，∑ ｎ ｋ＝１ ｌｎ １＋１( )ｋ ｋ ＜（槡ｎ＋１） ２ －２． ４．（２０２３·赣州模拟）已知函数 ｆ（ｘ）＝２ｌｎｘ－ａｘ ＋１ｘ． （１）当ａ≥０时，讨论 ｆ（ｘ）的单调性． （２）证明：①当ｘ＞０时，ｌｎ１＋１( )ｘ ＜ １ｘ２＋槡 ｘ； ②ｌｎ（ｎ＋１）＜ １ １２槡 ＋１ ＋ １ ２２槡 ＋２ ＋… ＋ １ ｎ２＋槡 ｎ ，ｎ∈Ｎ                             ． ! A # $B % C D @ ■■ ７１　 ■ ５．（２０２２·３月 ７日上饶六校理科）已知函数 ｆ（ｘ）＝（ｘ２－ｘ）－ａｌｎｘ（ａ＞０）． （１）求函数 ｆ（ｘ）的单调区间； （２）证明：当ｘ＞１时，２ｅ ｘ ｌｎｘ＞ ｘ２＋２ｘ ｘ２－ｘ ； （３）证明：对任意ｎ≥２的正整数，２ １２ ＋３ ２２ ＋ …＋ ｎ （ｎ－１）２ ＞ｌｎｎ恒成立． ６．（２０２３·广东衡水大联考）已知函数 ｆ（ｘ）＝ ｌｎｘ＋ ｋｘ＋１，ｘ＞０． （１）当ｋ＝４时，比较 ｆ（ｘ）与２的大小； （２）求证：２３＋ ２ ５＋ ２ ７＋… ＋ ２ ２ｎ＋１＜ｌｎ（ｎ＋ １），ｎ∈Ｎ． ７．（２０２２·驻马店期中）已知函数 ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ－ｘ ＋１． （１）求 ｆ（ｘ）的最大值； （２）设 ｍ为整数，且对于任意正整数 ｎ， １＋( )１２ １＋１２( )２ … １＋１２( )ｎ ＜ｍ，求 ｍ的 最小值． ８．（２０２２·安徽月考）已知函数 ｆ（ｘ）＝２ｌｎ（ｘ＋ ２）＋ａｘ２． （１）若 ａ＝－２，求函数 ｆ（ｘ）在（０， ＋∞）上 的单调区间； （２）求证： １ｎ＋ １ ｎ槡 ２ ·∑ ｎ ｉ＝１ ２ｉ－１ ｉ２ ＜２                                     ． ■ ７２　 ■  ９．（２０２２·台江区月考）已知函数 ｆ（ｘ）＝ｘｅａｘ －ｅｘ． （１）当ａ＝１２时，判断 ｆ（ｘ）在［０，＋∞）的单 调性； （２）设ｎ∈Ｎ，证明： １ １２槡 ＋１ ＋ １ ２２槡 ＋２ ＋… ＋ １ ｎ２＋槡 ｎ ＞ｌｎ（ｎ＋１）． １０．（２０２３·云南模拟）已知 ｅ是自然对数的底 数，ｆ（ｘ）＝ｘｅｘ－１，ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ａ（ｌｎｘ＋ｘ）． （１）当ａ≤０时，求证：ｆ（ｘ）在（０， ＋∞）上 单调递增； （２）是否存在实数 ａ，对任何 ｘ∈ （０， ＋∞），都有 ｆ（ｘ）≥０若存在，求出 ａ 的所有值；若不存在，请说明理由． １１．（２０２３·贵州模拟）已知函数 ｆ（ｘ）＝ｅｘ＋ｃｏｓｘ －２，ｆ′（ｘ）为 ｆ（ｘ）的导数． （１）当ｘ≥０时，求ｆ′（ｘ）的最小值； （２）当ｘ≥ －π２时，ｘｅ ｘ＋ｘｃｏｓｘ－ａｘ２－２ｘ≥０ 恒成立，求ａ的取值范围． １２．（２０２１·眉山模拟）已知 ｆ（ｘ）＝ｅｘ－ｃｏｓｘ＋ ａｘ２－ｘ，其中ａ＞０． （１）当ａ＝１时，求 ｆ（ｘ）的极值； （２）若 ｆ（ｘ）≥（ａ－１）ｘ，求ａ的值                                     ． ! A # $B % C D @ ■■ ７３　 ■ １３．（２０１５·天津）已知函数 ｆ（ｘ）＝４ｘ－ｘ４，ｘ ∈Ｒ． （１）求 ｆ（ｘ）的单调区间； （２）设曲线ｙ＝ｆ（ｘ）与 ｘ轴正半轴的交点为 Ｐ，曲线在点 Ｐ处的切线方程为 ｙ＝ ｇ（ｘ），求证：对于任意的实数 ｘ，都有 ｆ（ｘ）≤ ｇ（ｘ）； （３）若方程 ｆ（ｘ）＝ａ（ａ为实数）有两个实数 根 ｘ１，ｘ２，