专题7 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 同步训练-【老唐说题】高中数学新思路 高观点 低运算系列3

■ ２２　 ■  !" ７ # 9:;8<$=>.9?@8<$=> ! ?"#$%? ! 　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　１．（２０２３·襄都区月考）小张去工作室需要通过 三重门，他必须问管理员要到每重门的钥匙 才能到达工作室．第一重门的钥匙有３把（每 把颜色不同），第二重门的钥匙有４把（每把 颜色不同），第三重门的钥匙有３把（每把颜 色不同），管理员要求他从这１０把钥匙中取 ３把，则他能到达工作室的不同的取法共有 （　　） 　　　　　 　 　　　　　　Ａ．１０种 Ｂ．２４种 Ｃ．３６种 Ｄ．１２０种 ２．设集合 Ａ＝｛１，２，３，４｝，ｍ，ｎ∈Ａ，则方 程 ｘ２ ｍ＋ ｙ２ ｎ＝１表示焦点位于ｘ轴上的椭圆有 （　　） Ａ．６个 Ｂ．８个 Ｃ．１２个 Ｄ．１６个 ３．（２０２３·南海区月考）立德幼儿园王老师和李 老师给小朋友发水果．王老师的果篮有草莓， 苹果，芒果３种水果．李老师的果篮里有苹 果，樱桃，香蕉，猕猴桃４种水果．小华可 以在两个老师的果篮里分别选一个水果．小 华拿到两种不同的水果的情况有 （　　） Ａ．６种 Ｂ．７种 Ｃ．１１种 Ｄ．１２种 ４．（２０２３·南和区月考）一位爸爸带着三个孩子 买玩具，每个孩子从四种不同的玩具中任选 一个，每种玩具至少有三个，则不同的选法 有 （　　） Ａ．３６种 Ｂ．３８种 Ｃ．６４种 Ｄ．８１种 ５．（２０２３·潍坊月考）如图所示，若从正六边形 ＡＢＣＤＥＦ的六个顶点中任取三个顶点构成一 个三角形，则直角三角形的个数为 （　　） Ａ．６个 Ｂ．８个 Ｃ．１２个 Ｄ．１６个 ６．（２０２３·金台区期末）ａ１（ｂ１＋ｂ２）（ｃ１＋ｃ２＋ｃ３） （ｄ１＋ｄ２＋ｄ３＋ｄ４）展开后的项数为 （　　） Ａ．１０ Ｂ．１８ Ｃ．２４ Ｄ．３６ ７．现有５幅不同的国画，２幅不同的油画，７幅 不同的水彩画． （１）从中任选一幅画布置房间，有几种不同 的选法？ （２）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅 布置房间，有几种不同的选法？ （３）从这些画中选出两幅不同种类的画布置 房间，有几种不同的选法                             ？ ! ' # $( % ) * ■■ ２３　 ■ ８．（２０２２·多选·温州期中）某校实行选课走班 制度，小Ａ同学选择的是地理、生物、政治 这三科，且他的生物课要求在 Ｂ层上，该校 （上午共设置４节课）周一上午选课走班的课 程安排如下表所示，小 Ａ同学选择的三个科 目的课各上一节，另外一节上自习，则下列 说法正确的是（　　） 第１节 第２节 第３节 第４节 地理１班 化学Ａ层３班 地理２班 化学Ａ层４班 生物Ａ层１班 化学Ｂ层２班生物Ｂ层２班历史Ｂ层１班 物理Ａ层１班 生物Ａ层３班 物理Ａ层２班 生物Ａ层４班 物理Ｂ层２班生物Ｂ层１班物理Ｂ层１班 物理Ａ层４班 政治１班 物理Ａ层３班 政治２班 政治３班 Ａ．此人有６种选课方式 Ｂ．此人有５种选课方式 Ｃ．自习不可能安排在第１节 Ｄ．自习可安排在４节课中的任一节 ９．（２０２３·闵行区期中）（理科）某城市在中心广 场建造一个花圃，花圃分为６个部分，如图 所示，现要栽种４种不同颜色的花，每部分 栽种一种，且相邻部分不能栽种同一种颜色 的花，则不同的栽种方法种数为 （　　） Ａ．１２０ Ｂ．３６０ Ｃ．４８０ Ｄ．５４０ １０．（２０２２·京口区期中）如图，一个地区分为５ 个区域，现给５个区域涂色，要求相邻区域 不得使用同一颜色．现有 ４种颜色可供选 择，则不同的涂色方法共有 　　　　种． １１．（２０２３·多选·河北期中）在某城市中，Ａ， Ｂ两地之间有如图所示的道路网．甲随机沿 路网选择一条最短路径，从Ａ地出发去往 Ｂ 地．下列结论正确的有 （　　） Ａ．不同的路径共有３１条 Ｂ．不同的路径共有６１条 Ｃ．若甲途经 Ｃ地，则不同的路径共有 １８条 Ｄ．若甲途经Ｃ地，且不经过Ｄ地，则不同 的路径共有９                         条 ! " " # ■■ ９７　 ■ 解法二，放缩法：因为 ｎ２＞ｎ（ｎ －１），所以 １ ｎ２ ＜ １ｎ（ｎ－１），所以 １＋１ ２２ ＋１ ３２ ＋… ＋ １ （ｎ＋１）２ ＜１＋ １ １×２＋ １ ２×３＋… ＋ １ ｎ（ｎ＋１）＝１＋ １－１２＋ １ ２－ １ ３＋… ＋ １ ｎ－ １ ｎ＋１ ＝２－ １ｎ＋１＝ ２（ｎ＋１）－１ ｎ＋１ ． １１．证明：①当ｎ＝１时，槡２＜２显然 成立；②假设当ｎ＝ｋ时，该不等 式仍成立，即 槡 槡１×２＋ ２×３＋ …＋ ｋ（ｋ＋１槡 ）＜ （ｋ＋１）２ ２ ，则 ｎ